在數學 中，數學巧合 指的是兩個數學表達式 的值極為接近，卻未有任何理論解釋的現象。
例如，2 的10次方非常接近於整數1000 ：
2
10
=
1024
≈
1000
=
10
3
{\displaystyle 2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}}
工程學 中有時會利用數學巧合，使用某個表達式去近似 計算另一個表達式。
在某些情況下，用簡單的有理數 近似可以極其逼近某個無理數 。大部分這類巧合可以用無理數的連分數 表示法來解釋；但是，若要進一步探究連分數展開中出現的不尋常大項，則有時是無法通過理論解釋的。
圓周率 π 的第一個連分數 近似——[3; 7] = 22/7 = 3.1428...，由阿基米德 給出，誤差約為0.04%。π 的連分數近似的前三項——[3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3.1415929...，由祖沖之 給出[ 1] [ 2] π 之所以會在連分數近似的第三項達到如此高精確度是因為連分數表示[3; 7, 15, 1, 292, ...]中的下一項——292——是不尋常的大項[ 3]
π
≈
4
/
φ
=
3.1446
…
{\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3.1446\dots }
黃金分割率 。此式與開普勒三角 有關。有人認為胡夫金字塔 的建造利用了一個或多個數學巧合，但不是刻意為之的可能性更大[ 4]
π
≈
6
5
φ
2
{\displaystyle \pi \approx {\frac {6}{5}}\varphi ^{2}}
位於圓周率小數點後第762位的連續的六個9 。對於一個隨機選取的正規數 ，能在小數點後762位就出現一組特別的六位數字的概率只有0.08%[ 5] π 是否是一個正規數還不為人知。 1828這一串數字在e
在1828後，459045為小數點後第10~15位，到此仍近似於有規律的有理數 。
e 的前50萬位中出現了一串「99999999」（8個9）[ 6]
2
10
=
1024
≈
1000
=
10
3
{\displaystyle 2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}}
log
10
log
2
≈
3.3219
≈
10
3
{\displaystyle \textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3.3219\approx {\frac {10}{3}}}
2
≈
10
3
/
10
{\displaystyle 2\approx 10^{3/10}}
功率 比為1：2的信號，分貝 數大約有-3 dB的差異（準確值為3.0103 dB，見半功率點 KiB 與 KB （見二進制乘數詞頭 ）[ 7] [ 8]
2
7
=
128
≈
125
=
5
3
{\displaystyle 2^{7}=128\approx 125=5^{3}}
log
5
log
2
≈
2.3219
≈
7
3
{\displaystyle \textstyle {\frac {\log 5}{\log 2}}\approx 2.3219\approx {\frac {7}{3}}}
2
≈
5
3
/
7
{\displaystyle 2\approx 5^{3/7}}
攝影 中，可以應用此近似估計相機的設置：如果曝光時間 從1秒減少為1/125秒，若要保持曝光值 不變，可以光圈 轉動7格（stop）；由於光圈環轉動一格，照度 相差一倍，7格光圈對應的就是照度
2
7
=
128
{\displaystyle 2^{7}=128}
[ 9] 倒易律 的要求。
2
7
/
12
≈
3
/
2
{\displaystyle 2^{7/12}\approx 3/2}
十二平均律 用7個半音 來近似五度相生律 的純五度 即為此數學巧合的應用[ 9]
2
8
≈
3
5
{\displaystyle 2^{8}\approx 3^{5}}
2
19
≈
3
12
{\displaystyle 2^{19}\approx 3^{12}}
2
2
9
≈
12
12
2
{\displaystyle 2^{2^{9}}\approx 12^{12^{2}}}
π
2
≈
10
{\displaystyle \pi ^{2}\approx 10}
[ 10] ζ函數 的公式
ζ
(
2
)
=
π
2
/
6
{\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}
[ 11]
π
2
≈
227
/
23
{\displaystyle \pi ^{2}\approx 227/23}
π
3
≈
31
{\displaystyle \pi ^{3}\approx 31}
π
5
≈
306
{\displaystyle \pi ^{5}\approx 306}
π
3
+
1
5
≈
2
{\displaystyle {\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\approx 2}
π
≈
(
9
2
+
19
2
22
)
1
/
4
{\displaystyle \pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}}
22
π
4
≈
2143
{\displaystyle 22\pi ^{4}\approx 2143}
拉馬努金 的《Quarterly Journal of Mathematics》, XLV, 1914, pp. 350–372）。拉馬努金寫道，這是通過「經驗性地獲得的」關於
π
{\displaystyle \pi }
2143
22
4
=
3.1415926525
…
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525\dots }
306
5
=
3.14155
…
{\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155\dots }
17305
18
6
=
3.1415924
…
{\displaystyle {\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18}}}=3.1415924\dots }
21142
7
7
=
3.14159
…
{\displaystyle {\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7}}}=3.14159\dots }
294204
11
=
3.1415926
…
{\displaystyle {\sqrt[{11}]{294204}}=3.1415926\dots }
26487841119103
27
=
3.14159265358979
…
{\displaystyle {\sqrt[{27}]{26487841119103}}=3.14159265358979\dots }
一些貌似合理的近似甚至達到了極高的精確度，但仍然只是一種數學巧合。例如：
∫
0
∞
cos
(
2
x
)
∏
n
=
1
∞
cos
(
x
n
)
d
x
≈
π
8
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}}
式子的兩邊直到小數點後第42位才有所不同[ 12] [ 注 1]
π
4
+
π
5
≈
e
6
{\displaystyle \pi ^{4}+\pi ^{5}\approx e^{6}}
3
3
e
π
4
≈
5
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi }}}\approx 5}
3
π
+
e
4
≈
5
{\displaystyle {3}^{\frac {\pi +e}{4}}\approx 5}
e
π
−
π
≈
19.99909998
{\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 19.99909998}
(
π
+
20
)
i
=
−
0.9999999992
…
−
i
⋅
0.000039
…
≈
−
1
{\displaystyle (\pi +20)^{i}=-0.9999999992\ldots -i\cdot 0.000039\ldots \approx -1}
[ 13]
π
3
2
/
e
2
3
=
9.9998
…
≈
10
{\displaystyle \pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}=9.9998\ldots \approx 10}
e
−
π
9
+
e
−
4
π
9
+
e
−
9
π
9
+
e
−
16
π
9
+
e
−
25
π
9
+
e
−
36
π
9
+
e
−
49
π
9
+
e
−
64
π
9
=
1.00000000000105...
≈
1
{\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{9}}}+e^{-4{\frac {\pi }{9}}}+e^{-9{\frac {\pi }{9}}}+e^{-16{\frac {\pi }{9}}}+e^{-25{\frac {\pi }{9}}}+e^{-36{\frac {\pi }{9}}}+e^{-49{\frac {\pi }{9}}}+e^{-64{\frac {\pi }{9}}}=1.00000000000105...\approx 1}
163
⋅
(
π
−
e
)
≈
69
{\displaystyle {163}\cdot (\pi -e)\approx 69}
163
ln
163
≈
2
5
{\displaystyle {\frac {163}{\ln 163}}\approx 2^{5}}
拉馬努金常數 ：
e
π
163
≈
(
2
6
⋅
10005
)
3
+
744
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744}
2.9
⋅
10
−
28
%
{\displaystyle 2.9\cdot 10^{-28}\%}
夏爾·埃爾米特 發現[ 14]
ln
2
≈
(
2
5
)
2
5
{\displaystyle \ln 2\approx \left({\frac {2}{5}}\right)^{\frac {2}{5}}}
log
2
(
log
2
3
)
≈
2
3
{\displaystyle \log _{2}(\log _{2}3)\approx {\frac {2}{3}}}
偶然對消 [ 15]
16
64
=
1
⧸
6
⧸
64
=
1
4
{\displaystyle \,{\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!\!\not 6}{\not 64}}={\frac {1}{4}}}
26
65
=
2
⧸
6
⧸
65
=
2
5
{\displaystyle {\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!\!\not 6}{\not 65}}={\frac {2}{5}}}
19
95
=
1
⧸
9
⧸
95
=
1
5
{\displaystyle {\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!\!\not 9}{\not 95}}={\frac {1}{5}}}
49
98
=
4
⧸
9
⧸
98
=
4
8
{\displaystyle {\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!\!\not 9}{\not 98}}={\frac {4}{8}}}
佛利民數 ：
127
=
−
1
+
2
7
{\displaystyle \,127=-1+2^{7}}
(
3
+
4
)
3
=
343
{\displaystyle \,(3+4)^{3}=343}
[ 16]
2
5
⋅
9
2
=
2592
{\displaystyle \,2^{5}\cdot 9^{2}=2592}
[ 17] 水仙花數 [ 18]
1
3
+
5
3
+
3
3
=
153
{\displaystyle \,1^{3}+5^{3}+3^{3}=153}
3
3
+
7
3
+
0
3
=
370
{\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+0^{3}=370}
3
3
+
7
3
+
1
3
=
371
{\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+1^{3}=371}
4
3
+
0
3
+
7
3
=
407
{\displaystyle \,4^{3}+0^{3}+7^{3}=407}
666 :
sin
(
666
∘
)
=
cos
(
6
⋅
6
⋅
6
∘
)
=
−
φ
/
2
{\displaystyle \,\sin(666^{\circ })=\cos(6\cdot 6\cdot 6^{\circ })=-\varphi /2}
φ
{\displaystyle \varphi }
黃金分割率 [ 19]
ϕ
(
666
)
=
6
⋅
6
⋅
6
{\displaystyle \,\phi (666)=6\cdot 6\cdot 6}
ϕ
{\displaystyle \phi }
歐拉函數 。生日問題 中的
λ
=
1
365
(
23
2
)
=
253
365
{\displaystyle \lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}}
ln
(
2
)
{\displaystyle \ln(2)}
[ 20]
31
{\displaystyle \,31}
331
{\displaystyle 331}
3331
{\displaystyle 3331}
33331
{\displaystyle 33331}
333331
{\displaystyle 333331}
3333331
{\displaystyle 3333331}
33333331
{\displaystyle 33333331}
333333331
=
17
⋅
19607843
{\displaystyle 333333331=17\cdot 19607843}
123456789
⋅
8
=
987654312
{\displaystyle 123456789\cdot 8=987654312}
2646798
=
2
1
+
6
2
+
4
3
+
6
4
+
7
5
+
9
6
+
8
7
{\displaystyle \,2646798=2^{1}+6^{2}+4^{3}+6^{4}+7^{5}+9^{6}+8^{7}}
[ 21]
3
3
+
4
4
+
3
3
+
5
5
=
3435
{\displaystyle \,3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=3435}
(
8
+
1
)
2
=
81
{\displaystyle \,(8+1)^{2}=81}
(
4
+
9
+
1
+
3
)
3
=
4,913
{\displaystyle \,(4+9+1+3)^{3}=4{,}913}
(
5
+
8
+
3
+
2
)
3
=
5,832
{\displaystyle \,(5+8+3+2)^{3}=5{,}832}
(
1
+
9
+
6
+
8
+
3
)
3
=
19,683
{\displaystyle \,(1+9+6+8+3)^{3}=19{,}683}
[ 22]
588
2
+
2353
2
=
5882353
{\displaystyle \,588^{2}+2353^{2}=5882353}
1
/
17
=
0.0588235294117647
…
{\displaystyle \,1/17=0.0588235294117647\ldots }
10
!
=
6
!
⋅
7
!
=
1
!
⋅
3
!
⋅
5
!
⋅
7
!
{\displaystyle \,10!=6!\cdot 7!=1!\cdot 3!\cdot 5!\cdot 7!}
[ 23]
1
!
+
4
!
+
5
!
=
145
{\displaystyle \,1!+4!+5!=145}
[ 24]
3
3
+
4
3
+
5
3
=
6
3
{\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}
5
6
≈
2
×
6
5
{\displaystyle 5^{6}\approx 2\times 6^{5}}
光速 的定義之所以是299,792,458 m/s（非常接近300,000,000 m/s的一個值），是因為一公尺 的最初定義是通過巴黎 的子午線 上從地球赤道 到北極點 距離的千萬分之一[ 25] 光秒 的2/15[ 26] 英尺 每納秒 （準確值為0.9836 ft/ns）。
地球的極直徑約為5億英尺 ，誤差約為0.1%[ 27]
雖然地球的重力加速度 會隨着緯度 和海拔 的不同而變化，但其值在9.74m/s2 與9.87m/s2 之間，接近10m/s2 。因此，根據牛頓第二運動定律 ，一千克 物體在地球表面受到的重力約為10牛頓 [ 28] π 的平方接近10有關。公尺 的一個早期定義是將半週期 為一秒 的單擺 的擺長定義為一公尺。由於當擺角較小時，單擺的週期公式為：
T
≈
2
π
L
g
{\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
在這個定義下，重力加速度就會和 π 的平方相等[ 29]
另外，重力加速度的估計值9.8 m/s2 等於1.03 光年 /年2 ；這是一個非常接近1的值。
芮得柏常數 乘上光速 的值接近於
π
2
3
×
10
15
Hz
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}\ {\text{Hz}}}
3.2898
_
41960364
(
17
)
×
10
15
Hz
=
R
∞
c
{\displaystyle {\underline {3.2898}}41960364(17)\times 10^{15}\ {\text{Hz}}=R_{\infty }c}
[ 30]
3.2898
_
68133696
…
=
π
2
3
{\displaystyle {\underline {3.2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}}
一英里 的立方約等於
4
3
π
{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi }
公里 的立方（誤差約為0.5%），意味着一個半徑為 n 公里的球體與邊長為 n 英里的立方體的體積幾乎相等[ 31]
精細結構常數
α
{\displaystyle \alpha }
1
137
{\displaystyle {\frac {1}{137}}}
α
=
1
137.035999074
…
{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{137.035999074\dots }}}
值得注意的是，因為
α
{\displaystyle \alpha }
無因次量 ，所以這一巧合與人為選定的單位 系統無關。
^ 這個對於cos函數的上限無窮的積分看似是發散的，但實際上，可以證明
∫
0
∞
cos
(
2
x
)
∏
n
=
1
∞
cos
(
x
n
)
d
x
<
π
8
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x<{\frac {\pi }{8}}}
[ 12]
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π
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![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\approx 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3c8d13d92ef2197d2a7cc2d4ecfb150128451e)
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