韋達跳躍

韋達跳越（英語：Vieta jumping）是一個處理數論的證明技巧。通常是藉韋達定理，來對根進行無窮遞降法。

歷史

韋達跳越在國際奧林匹克數學競賽（IMO）裏是一個相對較新的數論解題技巧，在1988年IMO第一次出了這類的題目，且被認為是當年最難的題目。^[1]Arthur Engel 曾寫了關於這問題的一段描述：

六名澳洲解題委員會委員沒有一人在六小時時限內解出。其中有兩名是塞凱賴什·哲爾吉和他老婆，都是有名的解題者和出題者。另外四名是澳洲數論學家。這題被他們標記上雙重星號，意味着這題是極難的。經過一長時間的討論，評審委員仍將他列在該年的最後一題。十一名學生給出了完美的解答。

在十一名學生中，有一名即為知名的菲爾茲獎得主吳寶珠。^[2]

標準型韋達跳躍的中心概念是反證法，由下列步驟所組成：

註： $(x,y)$ 的"最小"由一個函數 $f(x,y)$ 給出，通常可令 $f(x,y)=x+y$ 。

1988 IMO #6

$a$ 和 $b$ 是正整數，且 $ab+1$ 整除 $a^{2}+b^{2}$ 。試證 ${\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}$ 為完全平方數。 ^[3]

令 $k = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}a2 + b2/ab + 1$ 。我們假設在滿足題目的條件下，存在一個或更多不是完全平方數的解 $k$ 。
對特定 $k$ ，使 $(A, B)$ 為其對應解中 $A + B$ 最小的，不失一般性可假設 $A \geq B$ 。用變數 $x$ 取代 $A$ ，重整方程式可得 $x 2 - (kB) x + (B 2 - k) = 0$ ，其中一根為 $x 1 = A$ 。利用韋達定理，可將另一根表示成 $x 2 = kB - A$ 或是 $x 2 = B 2 - k / A$ 。
從 $x 2$ 的第一個表示式可得 $x 2$ 為整數，第二個表示式可得 $x 2 \neq 0$ 因為 $k$ 不是完全平方數。進一步的，我們從 $x 22 + B 2 / x 2 B + 1 = k > 0$ 可得 $x 2$ 為正數。最後，從 $A \geq B$ 可推出 $x 2 = B 2 - k / A < A$ ，所以 $x 2 + B < A + B$ ，與 $A + B$ 為最小矛盾。

$a$ 和 $b$ 是正整數，且 $ab$ 整除 $a^{2}+b^{2}+1$ ，試證 $3ab=a^{2}+b^{2}+1$ 。^[4]

1988 IMO #6一樣可以使用幾何解釋解出。 $a$ 和 $b$ 是正整數，且 $ab+1$ 整除 $a^{2}+b^{2}$ 。試證 ${\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}$ 為完全平方數。