地球磁場 可以近似為一個磁偶極子的磁場。但是，圖內的 N 和 S 符號分別標示地球的地理北極 和地理南極 。這標示法很容易引起困惑。實際而言，地球的磁偶極矩的方向，是從地球位於地理北極附近的地磁北極 ，指向位於地理南極附近的地磁南極 ；而磁偶極子的方向則是從指南極 指向指北極 。電極偶子的等值線圖。等值曲面清楚地區分於圖內。 在電磁學 裏，有兩種偶極子 （英语 ：Dipole）：
電偶極子 是兩個分隔一段距離，電量 相等，正負相反的電荷 。磁偶極子 是一圈封閉循環的電流 。例如一個有常定電流 運行的線圈。偶極子的性質可以用它的偶極矩 描述。
電偶極矩（
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
m
{\displaystyle \mathbf {m} }
右手法則 ，是大拇指從載流迴路的平面指出的方向，而其它手指則指向電流運行方向，磁偶極矩的大小等於電流乘以線圈面積。
除了載流迴路以外，電子 和許多基本粒子 都擁有磁偶極矩。它們都會產生磁場 ，與一個非常小的載流迴路產生的磁場完全相同。但是，現時大多數的科學觀點認為這個磁偶極矩是電子的自然性質，而非由載流迴路生成。
永久磁鐵 的磁偶極矩來自於電子內稟的磁偶極矩。長條形的永久磁鐵稱為條形磁鐵，其兩端稱為指北極 和指南極 ，其磁偶極矩的方向是由指南極朝向指北極。這常規與地球的磁偶極矩恰巧相反：地球的磁偶極矩的方向是從地球的地磁北極 指向地磁南極 。地磁北極位於北極 附近，實際上是指南極，會吸引磁鐵的指北極；而地磁南極位於南極 附近，實際上是指北極，會吸引磁鐵的指南極。羅盤磁針的指北極會指向地磁北極；條形磁鐵可以當作羅盤 使用，條形磁鐵的指北極會指向地磁北極。
根據當前的觀察結果，磁偶極子產生的機制只有兩種，載流迴路和量子力學 自旋 。科學家從未在實驗裏找到任何磁單極子 存在的證據。
分開有限距離的兩個異性電荷的電場線 。 有限直徑的載流迴圈的磁場線 。 任意點偶極子（電偶極子、磁偶極子、聲偶極子等等）的場線。 一個物理電偶極子 是由兩個等電量的異性點電荷構成的。在距離遠超於兩個點電荷相隔距離之處，物理電偶極子所產生的電場，可以近似為其電偶極矩所產生的電場。 令物理電偶極子的兩個點電荷相隔距離趨向於 0 ，同時保持其電偶極矩不變，則極限就是點電偶極子 ，又稱為純電偶極子 。物理電偶極子產生的電場的多極展開式 中，一次項目就是點電偶極子產生的電場。物理電偶極子的電偶極矩
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
p
=
q
d
{\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} }
其中，
q
{\displaystyle q}
d
{\displaystyle \mathbf {d} }
位移向量 。
到現今為止，雖然還沒有找到任何磁單極子 存在的證據，科學家可以在電子 和許多基本粒子 的物理行為中，找到以量子力學 的自旋 形式存在的磁偶極子。點磁偶極子 所產生的磁場的形態與點電偶極子所產生的電場的形態完全相同。非常小的載流迴路可以近似為點磁偶極子。物理磁偶極子
m
{\displaystyle \mathbf {m} }
m
=
I
a
{\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {a} }
其中，
I
{\displaystyle I}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
面積向量 。
任何電荷或電流組態都具有偶極矩，其對應的偶極子所產生的向量場，是那個組態在遠距離的最好近似。偶極子項只是多極展開式中的一項。當單極矩等於 0 時（對磁案例而言，此情况永遠成立，因為磁單極子不存在），在遠距離
r
{\displaystyle r}
1
/
r
3
{\displaystyle 1/r^{3}}
1
/
r
2
{\displaystyle 1/r^{2}}
1
/
r
4
{\displaystyle 1/r^{4}}
n
{\displaystyle n}
1
/
r
(
n
+
1
)
{\displaystyle 1/r^{(n+1)}}
很多分子 都擁有電偶極矩。這是因為正負電荷的不均勻分佈。例如，
（正價） H-Cl （負價） 擁有永久電偶極矩的分子稱為極化分子 。假若一個分子帶有感應電偶極子，則稱此分子被極化 。彼得·德拜 是最先研究分子的電偶極子的物理化學家。為了紀念他的貢獻，電偶極矩的測量單位被命名為德拜 。
分子的電偶極子又分為以下三種（參閱分子間作用力 ）：
永久電偶極子 ：假若一個分子內的幾個原子的電荷分布不均，電負性 差異很大，则電負性較大的原子會吸引電子更接近自己，因而使得所佔據區域變得更具負性；另外電負性較小的原子的區域會變得更具正性。這樣，正、負電荷中心始終不重合，就形成了永久電偶極子。瞬時電偶極子 ：有時候，電子會恰巧地比較集中於分子內的某一個區域，這偶發狀況會產生暫時的電偶極子。感應電偶極子 ：當施加外電場於一個分子時，感應這外電場的作用，分子內部正常的電子雲 形狀會被改變，因而產生電偶極子。其伴隨的電偶極矩等於外電場和極化性 的乘積。常見的化學化合物在氣態的電偶極矩，採用德拜 單位：[ 1]
這些數值可從相對電容率 的測量值計算求得。當分子因為對稱性而使得浄電偶極矩被抵消，則設定電偶極矩為 0 。電偶極矩最大值在 10 到 11 這值域內。知道電偶極矩值，科學家可以推論分子的分子結構 。例如，數據顯示出，二氧化碳是一個線性分子；而臭氧則不是。
球坐標
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
假設電偶極子
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
電勢
Φ
(
r
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}
Φ
(
r
)
=
1
4
π
ϵ
0
p
⋅
r
^
r
2
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}
其中，
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
真空電容率 。
這公式的右手邊項目是任意靜電勢多極展開式 的第二個項目。假若這任意靜電勢是由純電偶極子產生，則這項目是多極展開式的唯一不消失項目。
電偶極子
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
−
∇
Φ
=
1
4
π
ϵ
0
r
3
(
3
(
p
⋅
r
^
)
r
^
−
p
)
=
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})\end{aligned}}}
； 其中，
θ
{\displaystyle \theta }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
注意到這個方程式並不完全正確，這是因為電偶極子的電勢有一個奇點 在它所處的位置（原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
[ 2]
E
=
−
∇
Φ
=
1
4
π
ϵ
0
r
3
(
3
(
p
⋅
r
^
)
r
^
−
p
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
=
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}}
； 其中，
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )}
狄拉克δ函數
從計算電偶極子所產生的電場的平均值，可以得到正確答案。設定以原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
b
{\displaystyle b}
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
⟨
E
⟩
=
3
4
π
b
3
∫
V
E
d
3
r
=
3
4
π
b
3
∫
0
b
∫
0
2
π
∫
0
π
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
r
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
d
r
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})r^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r}
注意到球坐標單位向量與直角坐標單位向量之間的關係：
r
^
=
x
^
sin
θ
cos
ϕ
+
y
^
sin
θ
sin
ϕ
+
z
^
cos
θ
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta }
θ
^
=
x
^
cos
θ
cos
ϕ
+
y
^
cos
θ
sin
ϕ
−
z
^
sin
θ
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}={\hat {\mathbf {x} }}\cos \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\cos \theta \sin \phi -{\hat {\mathbf {z} }}\sin \theta }
將這兩個關係式代入前面積分式，可以得到
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
=
3
p
16
π
2
ϵ
0
b
3
∫
0
b
∫
0
2
π
∫
0
π
1
r
3
{\displaystyle ={\frac {3p}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{r^{3}}}}
[
3
sin
θ
cos
θ
cos
ϕ
x
^
{\displaystyle [3\sin \theta \cos \theta \cos \phi {\hat {\mathbf {x} }}}
+
3
sin
θ
cos
θ
sin
ϕ
y
^
{\displaystyle +3\sin \theta \cos \theta \sin \phi {\hat {\mathbf {y} }}}
+
(
2
cos
2
θ
−
sin
2
θ
)
z
^
]
{\displaystyle +(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {\mathbf {z} }}]}
r
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
d
r
{\displaystyle r^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r}
注意到這積分式的x-分量與y-分量都等於零，只剩下z-分量：
⟨
E
⟩
=
3
p
16
π
2
ϵ
0
b
3
∫
0
b
∫
0
2
π
∫
0
π
1
r
(
2
cos
2
θ
−
sin
2
θ
)
z
^
sin
θ
d
θ
d
ϕ
d
r
=
3
p
z
^
8
π
ϵ
0
b
3
∫
0
b
1
r
d
r
∫
0
π
(
2
sin
θ
cos
2
θ
−
sin
3
θ
)
d
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {E} \rangle &={\frac {3p}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{r}}(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {\mathbf {z} }}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r\\&={\frac {3p{\hat {\mathbf {z} }}}{8\pi \epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ \mathrm {d} r\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta \end{aligned}}}
。 對於徑向坐標
r
{\displaystyle r}
∫
0
b
1
r
d
r
=
−
∞
{\displaystyle \int _{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ \mathrm {d} r=-\infty }
但對於天頂角
θ
{\displaystyle \theta }
∫
0
π
(
2
sin
θ
cos
2
θ
−
sin
3
θ
)
d
θ
=
∫
0
π
(
2
sin
θ
cos
2
θ
−
sin
3
θ
)
d
θ
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta =0}
由此可知，從這運算無法得到
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
奇點 在它所處的位置（原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
向量恆等式
∮
S
ψ
d
S
=
∫
V
∇
ψ
d
V
{\displaystyle \oint _{\mathbb {S} }\psi \ \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\mathbb {V} }\nabla \psi \ \mathrm {d} V}
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
⟨
E
⟩
=
3
4
π
b
3
∫
V
E
d
3
r
=
−
3
4
π
b
3
∫
V
∇
ϕ
d
3
r
=
−
3
4
π
b
3
∮
S
ϕ
d
S
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \phi \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\oint _{\mathbb {S} }\phi \ \mathrm {d} \mathbf {S} }
其中，
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
將電勢
ϕ
{\displaystyle \phi }
d
S
=
r
^
b
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} ={\hat {\mathbf {r} }}\ b^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi }
⟨
E
⟩
=
−
3
(
4
π
)
2
b
ϵ
0
∮
S
[
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
|
b
r
^
−
r
′
|
d
3
r
′
]
r
^
sin
θ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {3}{(4\pi )^{2}b\epsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} }\left[\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\right]{\hat {\mathbf {r} }}\ \sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi }
其中，
ρ
(
r
′
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
電荷密度 ，
V
′
{\displaystyle \mathbb {V} '}
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
場位置與源位置之間距離的倒數 以球諧函數
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}
多極展開 為
1
|
b
r
^
−
r
′
|
=
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
4
π
2
ℓ
+
1
r
′
ℓ
b
ℓ
+
1
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
,
r
′
<
b
{\displaystyle {\frac {1}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}{\frac {r^{\prime \ell }}{b^{\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),\qquad r'<b}
其中，
b
r
^
{\displaystyle b{\hat {\mathbf {r} }}}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
球坐標 分別為
(
b
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (b,\theta ,\phi )}
(
r
′
,
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle (r',\theta ',\phi ')}
單位向量
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
r
^
=
x
^
sin
θ
cos
ϕ
+
y
^
sin
θ
sin
ϕ
+
z
^
cos
θ
=
x
^
[
−
2
π
3
(
−
Y
1
,
−
1
∗
+
Y
11
∗
)
]
+
y
^
[
−
2
π
3
(
−
Y
1
,
−
1
∗
−
Y
11
∗
)
]
+
z
^
4
π
3
Y
10
∗
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta \\&={\hat {\mathbf {x} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}+Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {y} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}-Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {z} }}{\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}Y_{10}^{*}\\\end{aligned}}}
。 應用球諧函數的正交歸一性
∫
0
2
π
∫
0
π
Y
ℓ
′
m
′
∗
(
θ
,
ϕ
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
sin
θ
d
θ
d
ϕ
=
δ
ℓ
ℓ
′
δ
m
m
′
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y_{\ell 'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi =\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'}}
可以得到
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
⟨
E
⟩
=
−
1
4
π
b
3
ϵ
0
∫
V
′
r
′
ρ
(
r
′
)
d
3
r
′
=
−
p
4
π
b
3
ϵ
0
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {1}{4\pi b^{3}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=-\ {\frac {\mathbf {p} }{4\pi b^{3}\epsilon _{0}}}}
也就是說，
∫
V
E
d
3
r
=
−
p
3
ϵ
0
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}}
為了滿足這性質，必需對於電偶極子
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
1
4
π
ϵ
0
r
3
(
3
(
p
⋅
r
^
)
r
^
−
p
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
=
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}}
。 這樣，在計算
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
假設磁偶極矩為
m
{\displaystyle \mathbf {m} }
原點 ，則在任意位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
向量勢
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
(
r
)
=
μ
0
4
π
r
2
(
m
×
r
^
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}(\mathbf {m} \times {\hat {\mathbf {r} }})}
其中，
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
磁常數 。
這磁偶極子所產生的磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
由於磁偶極子的向量勢有一個奇點 在它所處的位置（原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
[ 2]
B
(
r
)
=
μ
0
4
π
r
3
(
3
(
m
⋅
r
^
)
r
^
−
m
)
+
2
μ
0
m
3
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)+{\frac {2\mu _{0}\mathbf {m} }{3}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )}
任意磁場的多極展開式中，帶頭項目就是這公式右手邊的第一個項目，偶極子項目。磁場沒有單極子項目。在遠距離，這公式近似任何類似磁偶極子的組態所產生的磁場。
偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級 分裂，因而形成了超精細結構 （hyperfine structure ）[ 3] 天文學 裏，氫原子 的超精細結構給出了21公分譜線 ，在電磁輻射 的無線電波 範圍，是除了3K背景輻射 以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元 （recombination ）至再電離紀元 （reionization ）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線 無線電波。
將一磁偶極子放在均勻磁場 ，或將電偶極子放在均勻電場 ，偶極子的兩端會分別各產生一個力，兩個大小相等而方向相反的力產生力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
τ
=
p
×
E
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }
τ
=
m
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} }
力矩傾向將偶極子的方向與向量場的方向排向同一方向，偶極子的位能 是
U
=
−
p
⋅
E
{\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} }
U
=
−
m
⋅
B
{\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }
在計算時，我們常假設偶極子兩端之間的距離是無窮小，即點偶極子 。
一個震盪電偶極子的電場的即時演化。 在靜電學 和靜磁學 之外，很重要的物理領域是含時偶極子。
當一個電偶極子在做諧振蕩 時，其電偶極矩可以表示為
p
=
p
′
(
r
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p'(\mathbf {r} )} e^{-i\omega t}}
ω
{\displaystyle \omega }
角頻率 。在真空 裏，它產生的電場和磁場分別為
E
=
1
4
π
ε
0
{
ω
2
c
2
r
r
^
×
p
×
r
^
+
(
1
r
3
−
i
ω
c
r
2
)
[
3
r
^
(
r
^
⋅
p
)
−
p
]
}
e
i
ω
r
/
c
{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left[3{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} \right]\right\}e^{i\omega r/c}}
B
=
ω
2
4
π
ε
0
c
3
r
^
×
p
(
1
−
c
i
ω
r
)
e
i
ω
r
/
c
r
{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}}
在離開偶極子很遠的位置（
r
ω
/
c
≫
1
{\displaystyle r\omega /c\gg 1}
球面波 ：
B
=
ω
2
4
π
ε
0
c
3
(
r
^
×
p
)
e
i
ω
r
/
c
r
{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}}
E
=
c
B
×
r
^
{\displaystyle \mathbf {E} =c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}}
經過時間平均，產生的總輻射功率
P
{\displaystyle P}
P
=
ω
4
12
π
ε
0
c
3
|
p
|
2
{\displaystyle P={\frac {\omega ^{4}}{12\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}|\mathbf {p} |^{2}}
功率的分佈並不具有均向性 ，而是集中於垂直於電偶極矩的方向。
試想一群粒子，數量為
N
{\displaystyle N}
電荷量 和位置分別為
q
i
{\displaystyle q_{i}}
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
i
=
1
,
2
,
…
,
N
{\displaystyle i=1,\,2,\,\dots ,\,N}
−
e
{\displaystyle -e}
e
Z
j
{\displaystyle eZ_{j}}
原子核 所構成；其中，
Z
j
{\displaystyle Z_{j}}
j
{\displaystyle j}
原子序 。這個群集的電偶極子的量子算符
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
p
=
∑
i
=
1
N
q
i
r
i
{\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\mathbf {r} _{i}}
^ Weast, Robert C. CRC Handbook of Chemistry and Physics 65rd ed. CRC Press. 1984. ISBN 0-8493-0465-2 ^ 2.0 2.1 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 107–111145–150, 184–188, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1
^ Griffiths, David J., Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen (PDF) , American Journal of Physics, August 1982, 50 (8): pp. 698 [2010-10-23 ] , （原始内容存档 (PDF) 于2020-05-12）
![{\displaystyle +(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {\mathbf {z} }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b67066bf3f622ce44567db4223f320d8d55386)
![{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {3}{(4\pi )^{2}b\epsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} }\left[\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\right]{\hat {\mathbf {r} }}\ \sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c04a8ba0a8ae4407bf3e8b3933597c454f3ec2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta \\&={\hat {\mathbf {x} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}+Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {y} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}-Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {z} }}{\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}Y_{10}^{*}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da37f800888a7c0ffc7339d607f9aee829ff724c)
![{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left[3{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} \right]\right\}e^{i\omega r/c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ad1f0c20dbaee5c2469392d307662cf2726f5d)
