圆幂定理
外观
(重定向自相交弦定理)
圓冪定理(英語:circle power theorem),是平面幾何中的一個定理。這定理指出,給定一個圓 Γ 以及一點 P,從該點引出兩條割線,分別與 Γ 相交於 A、B 以及 C、D,則有
這個乘積,是 P 對於 Γ 的圓冪(英語:circle power),故定理以此為名。
圓冪定義
[编辑]平面上任意一點 P ,以及半徑為 r 、圓心為 O 的圓,則定義圓冪 h 為:
- 。[1]
從這個定義可知,若 P 在圓內,則圓冪為負數;若 P 在圓外,則圓冪為正數;若 P 在圓周上,則有圓冪等於零。
圓冪又可等價地定義為:從該點穿過圓心的割線,與圓所作的兩個交點,與該點距離的乘積。也就是說:
- 。
理由如下:
- 。
變體
[编辑]圓冪定理有三個變體,分別是「相交弦定理」、「割線定理」及「切割線定理」。[2]
相交弦定理
[编辑]設有一圓,圓上有兩條弦 AB 及 CD,它們相交於 E,則有
這個乘積,是 E 的圓冪的相反數 −h。這是因為圓冪為非正數,而線段的乘積為正數。
割線定理
[编辑]設有一圓,圓外有一點 P,引出兩條割線,分別與圓相交於 A、B 以及 M、N,則有
這個乘積,是 P 的圓冪 h。
切割線定理
[编辑]設有一圓,圓外有一點 P,引出一條割線,與圓相交於 A、B ,又引出一條切線,與圓相切於 T,則有
這個乘積,同樣是 P 的圓冪 h。
證明
[编辑]相交弦定理
[编辑]從同弓形內圓周角的性質可知,ΔAED 與 ΔCEB 是相似三角形,因此
整理可得
證明完畢。
割線定理
[编辑]從同弓形內圓周角的性質可知,ΔPAM 與 ΔPNB 是相似三角形,因此
整理可得
證明完畢。
切割線定理
[编辑]從內錯弓形圓周角的性質可知,ΔPAT 與 ΔPTB 是相似三角形,因此
整理可得
證明完畢。
參見
[编辑]- 根軸——到兩圓圓冪相等的點的軌跡
參考資料
[编辑]- ^ Weisstein, Eric W. Circle Power. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry (2nd Edition), New York: Wiley, 1969