切萨罗求和

切薩羅求和（英語：Cesàro summation）也稱為切薩羅平均（Cesàro mean）或切薩羅極限（Cesàro limit），是由義大利的數學家恩納斯托·切薩羅（Ernesto Cesàro）發明，是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α，則其切薩羅和存在，其值為 α，而有些發散級數也可以用切薩羅求和的方式，計算出切薩羅和。可以計算切薩羅求和的級數是切薩羅可求和的級數。

切薩羅求和可視為是一種特殊的矩陣可求和法。

切薩羅求和中的「求和」一詞可能會造成誤解，而有關切薩羅求和的敘述和證明也和無窮級數證明的Eilenberg–Mazur swindle有關。有關切薩羅可求和級數，常被提到的是格蘭迪級數，依照切薩羅求和可得其「和」為1/2^。

定義

令{a_n}為一數列，且令

$s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}$

為數列前k項的部份和：

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

若以下的條件成立，則此數列{a_n}的切薩羅和存在，且其值為α。

$\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=\alpha$.

格蘭迪級數的例子

主条目：格蘭迪級數

令 a_n = (-1)ⁿ⁺¹, n ≥ 1。因此{a_n} 為以下的數列：

$1,-1,1,-1,\ldots$。

其部份和組成的數列 {s_n} 為

$1,0,1,0,\ldots$；

此數列為格蘭迪級數，不會收斂。

而數列 {(s₁ + ... + s_n)/n} 的各項分別為

${\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots$；

當n趨近於無限大，切薩羅和為如下極限：

$\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2$。

因此，數列 {a_n} 的切薩羅和為 1/2。

推廣

切薩羅在1890年發展了更廣泛的切薩羅和，表示為(C, n)，其中n為非負整數。 (C, 0) 是一般定義下的和，而(C, 1)就是上述的切薩羅和。

n>1時的(C, n) 如下所述： 對於級數Σa_n, 定義

$A_{n}^{-1}=a_{n};A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}$

(上面的指数不表示指数)且定義 E_n^α 為數列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 A_n^α。 則 Σa_n 的 (C, α) 和則為

$\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}$

若以上數值存在。

这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。

相關條目

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參考文獻

• Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. 1994. ISBN 978-0-19-853585-0.