局部有限群
外观
在數學的群論中,局部有限群是群的一種,研究方法與有限群相似。局部有限群的西羅子群、卡特子群、阿貝爾子群等都有被研究。
定義和初步結果
[编辑]由於局部有限群的循環子群都是有限群,所以局部有限群的每個元素的階都是有限,因此局部有限群是週期群。
例子和非例子
[编辑]以下是局部有限群的例子:
- 有限群
- 無限個有限群的直和(Robinson 1996,第443頁)(但是其直積未必是局部有限)
- ω-範疇群(Omega-categorical group)
- 普呂弗群
- 哈密頓群
- 週期可解群
- 局部有限群的任何子群
- 霍爾泛群是一個可數局部有限群,包含每個可數局部有限群為其子群。
- 每個群都有唯一極大正規局部有限子群(Robinson 1996,第436頁)
- 在複數上的一般線性群的任何週期子群都是局部有限群。[1]
非例子:
- 有無限階元素的群
- 塔斯基魔群是週期群,但不是局部有限。
性質
[编辑]局部有限群的類對於子群、商群、群擴張是封閉的。(Robinson 1996,第429頁)
局部有限群適合較弱形式的西羅定理。若一個局部有限群有一個有限p-子群不包含在其他p-子群內,則所有極大p-子群都是有限和共軛的。若其共軛的數目有限,則此數對於模p同餘於1。(Robinson 1996,第429頁)其實若一個局部有限群的每個可數子群都僅有可數個極大p-子群,則這個群的所有極大p-子群都共軛。(Robinson 1996,第429頁)
參考
[编辑]- ^ Curtis, Charles; Reiner, Irving, Representation Theory of Finite Groups and Associated Algebras, John Wiley & Sons: 256–262, 1962
- Dixon, Martyn R., Sylow theory, formations and Fitting classes in locally finite groups, Series in Algebra 2, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1994, ISBN 978-981-02-1795-2, MR 1313499
- Robinson, Derek John Scott, A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-0-387-94461-6
外部連結
[编辑]- A.L. Shmel'kin, L/l060410, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Otto H. Kegel and Bertram A. F. Wehrfritz (1973), Locally Finite Groups, Elsevier