拉格朗日定理 (群論)

拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。

定理陳述

拉格朗日定理^[1] — 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群^{[註 1]}，那麼 $|G|=|H|[G:H]$ 而如果 $G$ 是有限群，那麼這個定理可以簡化成—— $|H|$ 是 $|G|$ 的因數。

證明思路

定理的證明利用了陪集的以下性質：

一個子群的所有陪集在集合意義下有相同的大小^{[註 2]}（ Cardinality ）^[2]。
一個子群的所有陪集分割^{[註 3]}了整個群^[3]。
根據集合的特性， $G$ 的大小可以寫成是陪集的大小（ $|H|$ ）乘上^{[註 4]}陪集的數量（ $[G:H]$ ）。

推論

由拉格朗日定理可立即得到——有限群 $G$ 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 $G$ 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。
如果 $|G|$ 是質數，那麽 $G$ 同構於質數階的循環群 $C_{|G|}$ （因為質數沒有 $1$ 和自身以外的因數）^[4]。
費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論^[5]。

逆命題

拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 $|G|$ 的因數可能不是任何子群的階。例如交錯群 $A_{4}$ 的階是 $12$ ，但它沒有任何階是 $6$ 子群^[6]。然而柯西定理以及它的推廣——西羅定理——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階；而如果 $G$ 是可解群的話，則西羅定理還可以進一步推廣成霍爾定理（英语：Hall subgroup#Hall's theorem）。

參見

註解

^ 沒有假設是有限群
^ 或稱——勢
^ 意思是每個群元素都位在剛好一個（ exactly one ）陪集之中
^ cardinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法

引用

^ Hungerford 1974，第39頁，Corollary 4.6.
^ Hungerford 1974，第38頁，Theorem 4.2.
^ Hungerford 1974，第38頁，Corollary 4.3.
^ Gallian 2012，第149頁，Corollary 3.
^ Gallian 2012，第149頁，Corollary 5.
^ Gallian 2012，第149頁，Example 5.

參考文獻

Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra 第八版. Cengage Learning. 2012. ISBN 978-1133599708 （英语）.
Hungerford, Thomas William. Algebra 第一版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 （英语）.

[1] 沒有假設是有限群

[3] 或稱——勢

[5] 意思是每個群元素都位在剛好一個（ exactly one ）陪集之中

[7] rdinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法

[FOOTNOTEHungerford197439Corollary_4.6-2] Hungerford 1974，第39頁，Corollary 4.6.

[FOOTNOTEHungerford197438Theorem_4.2-4] Hungerford 1974，第38頁，Theorem 4.2.

[FOOTNOTEHungerford197438Corollary_4.3-6] Hungerford 1974，第38頁，Corollary 4.3.

[FOOTNOTEGallian2012149Corollary_3-8] Gallian 2012，第149頁，Corollary 3.

[FOOTNOTEGallian2012149Corollary_5-9] Gallian 2012，第149頁，Corollary 5.

[FOOTNOTEGallian2012149Example_5-10] Gallian 2012，第149頁，Example 5.

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[註 1]

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[註 3]

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[註 4]

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