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格罗滕迪克伽罗瓦理论

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数学中,格罗滕迪克伽罗瓦理论Grothendieck's Galois theory)是域的伽罗瓦理论的一种抽象方法,为代数几何背景下研究代数拓扑基本群提供了一种方法,大约发展于1960年前后。格罗滕迪克伽罗瓦理论在经典域论背景下提供了一种不同于埃米尔·阿廷线性代数视角,后者在1930年代成为标准。

亚历山大·格罗滕迪克的方法关注范畴论性质,是定投射有限群(profinite group)G的有限G集合范畴的特征。例如,G可能是表为的群,是循环加性群逆极限,或等价于有限索引的子群拓扑的有限循环群Z的完备化。因此有限G集是有限集X,其上的G通过商有限循环群作用于X,从而通过给出X的某种置换来指定它。

在上面的例子中,通过把看做任意有限域FF上的代数闭包的投射有限伽罗瓦群,可以看出其与经典伽罗瓦理论的联系。即,当在F上取越来越大的有限分裂域时,固定F的自同构由逆极限描述。观察去原点复平面单位圆盘覆叠空间时,就会发现其与几何之间的联系:通过复变量z考虑,圆盘的映射实现的有限覆盖对应去心圆盘基本群的子群n.Z

格罗滕迪克理论发表于SGA1,展示了如何从纤维函子重构G集范畴,在几何情景中,纤维函子将覆盖的纤维置于固定基点上(作为集合)。事实上,已证明有同构类型

后者是的自同构群(自自然等价)。我们给出范畴的抽象分类,其中给出到集合范畴的函子,这样就可以识别G投射有限的G集范畴。

为了了解这如何应用于域的情形,必须研究域的张量积拓扑斯理论中,这是原子拓扑斯研究的一部分。

另见

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参考文献

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  • Grothendieck, A.; et al. SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961. Lecture Notes in Mathematics 224. SpringerSphiwe Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-36910-3. arXiv:math/0206203可免费查阅. 
  • Joyal, André; Tierney, Myles. An Extension of the Galois Theory of Grothendieck. Memoirs of the American Mathematical Society. 1984. ISBN 0-8218-2312-4.