离散傅里叶级数

离散傅里叶级数（DFS）与连续傅立叶级数相比有很大的区别。最大的不同在于离散时间傅里叶级数的系数序列是周期的。

离散傅里叶级数的公式

周期为N的周期序列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其离散傅里叶级数为 $\left\{x_{k}\right\}$ ：

$x[k]=\sum _{n=<N>}a_{n}\cdot e^{-in({\frac {2\pi }{N}})k}$

其中，DFS的逆变换序列：

$a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=<N>}x[k]\cdot e^{in({\frac {2\pi }{N}})k}$ （k=<N>表示对一个周期N内的值求和）

连续周期信号的离散化（下面的讨论中， $\omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}$ ）：

首先，在傅里叶级数一文中，我们知道函数 $f(t)=e^{i({\frac {2\pi }{T}})t}$ 是对于任意的T是周期为T的函数，然而其对应的离散信号则不一定是周期的，可以证明，只有当 ${\frac {\omega _{0}}{2\pi }}$ 是有理数时，离散信号f[n]才是周期函数。
其次，在满足条件1的前提下，连续周期信号 $f_{k}(t)$ 对应的离散信号 $f_{k}[n]=e^{ik({\frac {2\pi }{N}})n}$ 对k也具有周期性，其周期为N,即 $f_{k}[n]$ 中只有N个不同的序列。
从离散时间傅里叶变换的系数公式我们可以看出， $a_{k}$ 也是对k周期为N的函数。
离散傅里叶变换实际上是离散时间傅里叶级数在主值区间上的取值。我们注意到，离散傅里叶变换是对非周期函数f[n]进行的，如果我们对f[n]的定义拓广为周期函数f'[n]： $f'[n]=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }f(n+i\cdot N)$ 。并且当 $N\to \infty$ 时，f'[n]实际上就是f[n]，那么我们现在可以求出f'[n]的傅里叶级数。同样，当 $N\to \infty$ 时无穷级数变成了积分，得到的结果是一个连续的周期函数 $X(e^{i\omega })$ （正如离散傅里叶变换一文中所述），这就是f[n]的离散时间傅里叶变换。这时，只需在它的主值区间上采样，就可以得到离散傅里叶变换的变换序列。