磁矩 是磁铁的一种物理性质。处于外磁场 的磁铁 ,会感受到力矩 ,促使其磁矩沿外磁场的磁场线 方向排列。磁矩可以用矢量 表示。磁铁的磁矩方向是从磁铁的指南极 指向指北极 ,磁矩的大小取决于磁铁的磁性与量值。不只是磁铁具有磁矩,载流回路 、电子 、分子 或行星 等等,都具有磁矩。
科学家至今尚未发现宇宙中存在有磁单极子 。一般磁性物质 的磁场,其泰勒展开 的多极展开式 ,由于磁单极子 项目恒等于零,第一个项目是磁偶极子 项、第二个项目是磁四极子 (quadrupole )项,以此类推。磁矩也分为磁偶极矩、磁四极矩等等部分。从磁矩的磁偶极矩、磁四极矩等等,可以分别计算出磁场的磁偶极子项目、磁四极子项目等等。随着距离的增远,磁偶极矩部分会变得越加重要,成为主要项目,因此,磁矩这术语时常用来指称磁偶极矩。有些教科书内,磁矩的定义与磁偶极矩的定义相同[ 1] 。
一个载流循环的磁偶极矩是其所载电流 乘以回路面积:
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
;
其中,
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
为磁偶极矩,
I
{\displaystyle I\,\!}
为电流,
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
为面积矢量。磁偶极矩、面积矢量的方向是由右手定则 决定。
处于外磁场的载流循环,其感受到的力矩和其势能 与磁偶极矩的关系为:
τ
=
μ
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}
、
U
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
;
其中,
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
为力矩,
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
为磁场,
U
{\displaystyle U\,\!}
为势能。
许多基本粒子 ,例如电子 ,都具有内禀磁矩 。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源,许多物理现象也和此有关。这种磁矩和经典物理的磁矩不同,而是和粒子的自旋 有关,必须用量子力学 来解释。这些内禀磁矩是量子化 的,最小的基本单位,常常称为“磁子 ”(magneton )。例如,电子自旋 的磁矩与玻尔磁子 的关系式为:
μ
s
=
−
g
s
μ
B
S
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}=-g_{s}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}
;
其中,
μ
s
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}\,\!}
为电子自旋的磁矩,电子自旋g因子
g
s
{\displaystyle g_{s}\,\!}
是一项比例常数,
μ
B
{\displaystyle \mu _{B}\,\!}
为玻尔磁子 ,
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
为电子的自旋 ,
ℏ
{\displaystyle \hbar \,\!}
是约化普朗克常数 。
采用国际单位制 ,磁偶极矩的量纲 是面积 ×电流 。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法:
1 安培 ·米2 = 1 焦耳 /特斯拉 。
CGS单位制 又可细分为几种亚单位制:静电单位制 (electrostatic units ),电磁单位制 (electromagnetic units )、高斯单位制 。
磁偶极矩单位转换表[ 2]
光速 c = 29,979,245,800 ≈ 3·1010
语言
国际单位制
静电单位制
电磁单位制
高斯单位制
中文
1 安培 ·米2 = 1 焦耳 /特斯拉
= (103 c ) 静安培 ·公分2
= (103 ) 绝对安培 ·公分2
= (103 ) 尔格 /高斯
英文
1 A ·m 2 =1 J /T
= (103 c ) statA·cm2
= (103 ) abA·cm2
= (103 ) erg /Gauss
磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等于单位为公分/秒的光速 。
在这篇文章内,所有的方程都采用国际单位制。
在任何物理系统里,磁矩最基本的源头有两种:
电荷 的运动,像电流,会产生磁矩。只要知道物理系统内全部的电流密度分布(或者所有的电荷的位置和速度),理论上就可以计算出磁矩。
像电子、质子 一类的基本粒子会因自旋而产生磁矩。每一种基本粒子的内禀磁矩的大小都是常数,可以用理论推导出来,得到的结果也已经通过做实验核对至高准确度。例如,电子磁矩的测量值是−9.284764×10−24 焦耳/特斯拉[ 3] 。磁矩的方向完全决定于粒子的自旋方向(电子磁矩的测量值是负值,这意味着电子的磁矩与自旋呈相反方向)。
整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的矢量和。例如,氢原子 的磁场是以下几种磁矩的矢量和:
电子的自旋。
电子环绕着质子的轨域运动。
质子的自旋。
再举个例子,构成条形磁铁的物质,其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的矢量和,是条形磁铁的磁矩。
假设一个平面载流循环的面积矢量为
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
、所载电流为
I
{\displaystyle I\,\!}
,则其磁偶极矩为
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
。
对于最简单的案例,平面载流循环的磁偶极矩
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
是
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
;
其中,
I
{\displaystyle I\,\!}
是循环所载有的恒定电流,
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
是平面循环的面积矢量。
面积矢量和磁偶极矩的方向是由右手定则 给出:令四只手指朝着电流方向弯曲,伸直大拇指,则大拇指所指的方向即是面积矢量的方向,也是磁偶极矩的方向。
这有限面积的载流循环还有更高阶的磁矩,像磁四极矩,磁八极矩等等。假设载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大,同时保持
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
不变,则所有更高阶的磁矩会趋向于零,这真实的载流循环趋向于理想磁偶极子,或纯磁偶极子。
对于任意回路案例,假设回路载有恒定电流
I
{\displaystyle I\,\!}
,则其磁偶极矩为
μ
=
I
∫
S
d
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}
;
其中,
S
{\displaystyle \mathbb {S} \,\!}
是积分曲面,
C
{\displaystyle \mathbb {C} \,\!}
是
S
{\displaystyle \mathbb {S} \,\!}
边缘的闭合回路,
d
a
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}
是微小面积元素,
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
是微小线元素,
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
是
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
的位置。
引用矢量恒等式
∫
S
d
a
=
1
2
∮
C
r
×
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
,
即可得到磁偶极矩的路径积分方程
μ
=
I
2
∮
C
r
×
d
ℓ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
。
对于最广义的任意电流分布案例,磁偶极矩为
μ
=
1
2
∫
V
r
×
J
d
V
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!}
;
其中,
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
是积分体积,
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
是源电流位置,
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
是电流密度 ,
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} V\,\!}
是微小体积元素。
任意一群移动电荷,像旋转的带电固体,都可以用这方程计算出其磁偶极矩。
在原子物理学 和核子物理 学里,磁矩的大小标记为
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
,通常测量单位为玻尔磁子 或核磁子 (nuclear magneton )。磁矩关系到粒子的自旋,和/或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩:
一些基本粒子的内禀磁矩和自旋[ 4]
粒子
内禀磁矩(10−27 焦耳 /特斯拉 )
自旋量子数
电子
-9284.764
1/2
质子
+14.106067
1/2
中子
-9.66236
1/2
μ子
-44.904478
1/2
重氢
+4.3307346
1
氢-3
+15.046094
1/2
欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系,请参阅条目磁化强度 。
磁偶极子的磁场线 。从侧面望去,磁偶极子竖立于绘图的中央。
载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是,随着距离的增远,这些多极项目会更快速地减小,因此,在远距离位置,只有偶极项目是磁场的显要项目。
思考一个载有恒定电流
I
{\displaystyle I\,\!}
的任意局域回路
C
{\displaystyle \mathbb {C} \,\!}
,其磁矢势
A
{\displaystyle \mathbf {A} \,\!}
为
A
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
∮
C
′
d
ℓ
′
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} '}\ {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}
;
其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
是检验位置,
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}
是源头位置,是微小线元素
d
ℓ
′
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}
的位置,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}\,\!}
是磁常数 。
假设检验位置足够远,
r
>
r
′
{\displaystyle r>r'\,\!}
,则表达式
1
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}
可以泰勒展开 为
1
|
r
−
r
′
|
=
1
r
∑
n
=
0
∞
(
r
′
r
)
n
P
n
(
cos
θ
′
)
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\ \left({\frac {r'}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta ')\,\!}
;
其中,
P
n
(
cos
θ
′
)
{\displaystyle P_{n}(\cos \theta ')\,\!}
是勒让德多项式 ,
θ
′
{\displaystyle \theta '\,\!}
是
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
与
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}
之间的夹角 。
所以,磁矢势展开为
A
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
∑
n
=
0
∞
1
r
n
+
1
∮
C
′
(
r
′
)
n
P
n
(
cos
θ
′
)
d
ℓ
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{r^{n+1}}}\oint _{\mathbb {C} '}\ (r')^{n}P_{n}(\cos \theta ')\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}
。
思考
n
=
0
{\displaystyle n=0\,\!}
项目,也就是磁单极子项目:
A
0
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
r
∮
C
′
d
ℓ
′
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r}}\oint _{\mathbb {C} '}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'=0\,\!}
。
由于闭合回路的矢量线积分等于零,磁单极子项目恒等于零。
再思考
n
=
1
{\displaystyle n=1\,\!}
项目,也就是磁偶极子项目:
A
1
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
r
2
∮
C
′
r
′
cos
θ
′
d
ℓ
′
=
μ
0
I
4
π
r
2
(
−
r
^
×
∮
S
′
d
a
′
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ \oint _{\mathbb {C} '}\ r'\cos \theta '\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ (-{\hat {\mathbf {r} }}\times \oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} ')\,\!}
。
注意到磁偶极矩为
μ
=
I
∮
S
′
d
a
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\,\!}
,偶极磁矢势可以写为
A
1
(
r
)
=
μ
0
4
π
μ
×
r
^
r
2
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {{\boldsymbol {\mu }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}\,\!}
。
偶极磁场
B
1
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}\,\!}
为
B
1
(
r
)
=
∇
×
A
1
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )\,\!}
。
由于磁偶极子的矢势有一个奇点 在它所处的位置(原点
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
),必须特别小心地计算,才能得到正确答案。更仔细地推导,可以得到磁场为
B
1
(
r
)
=
μ
0
4
π
r
3
[
3
(
μ
⋅
r
^
)
r
^
−
μ
]
+
2
μ
0
3
μ
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}
;
其中,
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}
是狄拉克δ函数 。
偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级 分裂,因而形成了超精细结构 (hyperfine structure )[ 5] 。在天文学 里,氢原子 的超精细结构给出了21公分谱线 ,在电磁辐射 的无线电波 范围,是除了3K背景辐射 以外,宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元 (recombination )至再电离纪元 (reionization )之间的天文学研究,只能依靠观测21公分谱线无线电波。
给予几个磁偶极矩,则按照叠加原理 ,其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总矢量和。
处于均匀磁场的一个方形载流循环。
如图右,假设载有电流
I
{\displaystyle I\,\!}
的一个方形循环处于外磁场
B
=
B
0
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
。方形循环四个边的边长为
w
{\displaystyle w\,\!}
,其中两个与
y
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!}
平行的边垂直于外磁场,另外两个边与磁场之间的夹角角弧为
−
θ
+
π
/
2
{\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!}
。
垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为
τ
=
(
I
w
B
0
w
sin
θ
2
+
I
w
B
0
w
sin
θ
2
)
y
^
=
I
w
2
B
0
sin
θ
y
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {\mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\,\!}
。
另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这循环的磁偶极矩为
μ
=
I
w
2
μ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!}
。所以,这循环感受到的磁力矩为
τ
=
μ
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}
。
令载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大,同时保持
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
不变,则这载流循环趋向于理想磁偶极子。所以,处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程表示。
当磁偶极矩垂直于磁场时,磁力矩的大小是最大值
μ
B
0
{\displaystyle \mu B_{0}\,\!}
;当磁偶极矩与磁场平行时,磁力矩等于零。
将载流循环从角弧
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,\!}
扭转到角弧
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
,磁场所做的机械功
W
{\displaystyle W\,\!}
为
W
=
−
∫
θ
1
θ
2
τ
d
θ
=
−
∫
θ
1
θ
2
μ
B
0
sin
θ
d
θ
=
μ
B
0
(
cos
θ
2
−
cos
θ
1
)
{\displaystyle W=-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}})\,\!}
。
注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向 ,而
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
是朝着顺时针方向 递增,所以必须添加一个负号。设定
θ
1
=
π
/
2
{\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!}
,则
W
=
μ
B
0
cos
θ
2
=
μ
⋅
B
{\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
。
对抗这磁场的磁力矩,将载流循环从角弧
π
/
2
{\displaystyle \pi /2\,\!}
扭转到角弧
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
,所做的机械功
W
a
{\displaystyle W_{a}\,\!}
为
W
a
=
−
W
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
。
定义载流循环的势能
U
{\displaystyle U\,\!}
等于这机械功
W
a
{\displaystyle W_{a}\,\!}
,以方程表示为
U
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
。
与前段所述同理,磁偶极子的势能也可以用这方程表示。当磁偶极矩垂直于磁场时,势能等于零;当磁偶极矩与磁场呈相同方向时,势能是最小值
−
μ
B
0
{\displaystyle -\mu B_{0}\,\!}
;当磁偶极矩与磁场呈相反方向时,势能是最大值
μ
B
0
{\displaystyle \mu B_{0}\,\!}
。
假设外磁场为均匀磁场,则作用于载流回路
C
′
{\displaystyle \mathbb {C} '\,\!}
的磁场力等于零:
F
=
I
∮
C
′
d
ℓ
′
×
B
=
0
{\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times \mathbf {B} =0\,\!}
。
假设外磁场为非均匀的,则会有一股磁场力,作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同,求得的磁场力也会不同[ 6] 。采用常见的“电流模型”,则一个磁偶极子所感受到的磁场力为
F
ℓ
=
∇
(
μ
⋅
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} )\,\!}
。
另外一种采用“磁荷模型”。这类似电偶极矩的模型,计算出的磁场力为
F
d
=
(
μ
⋅
∇
)
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!}
。
两者之间的差别为
F
l
=
F
d
+
μ
×
(
∇
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!}
。
假设,电流等于零,电场不含时间,则根据麦克斯韦-安培方程 ,
∇
×
B
=
0
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!}
,
两种模型计算出来的磁场力相等。可是,假设电流不等于零,或电场为含时电场,则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年,两个不同的实验,研究中子 的散射 于铁磁性 物质,分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合[ 6] 。
一个载流循环的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如,载有1安培 电流,半径
r
′
{\displaystyle r'\,\!}
为0.05米的单匝圆形载流循环,其磁偶极矩为:
μ
=
π
r
′
2
I
=
π
×
0.05
2
×
1
≈
0.008
[
A
⋅
m
2
]
=
0.008
[
J
/
T
]
{\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}
。
磁偶极矩垂直于载流循环的平面。载流循环的磁矩,可以用来建立以下几点论据:
假设场位置的距离
r
{\displaystyle r\,\!}
超远于循环半径
r
′
=
0.05
m
{\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!}
,则磁场会呈反立方减弱:
沿着循环的中心轴,磁矩与场位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
平行:
B
=
μ
0
4
π
r
3
2
μ
=
4
π
×
10
−
7
4
π
r
3
×
2
×
0.008
≈
1.6
×
10
−
9
r
3
[
T
⋅
m
3
]
{\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}
。
在包含循环的平面的任意位置,磁矩垂直于场位置:
B
=
−
μ
0
4
π
r
3
μ
=
−
4
π
×
10
−
7
4
π
r
3
×
0.008
≈
−
0.8
×
10
−
9
r
3
[
T
⋅
m
3
]
{\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}
。
负号表示平面任意位置案例与中心轴案例,这两个案例的磁场呈相反方向。
假设在地球的某地方,地磁场
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
的数值大约为0.5 高斯 (5×10−5 特斯拉 ),而且循环磁矩垂直于地磁场
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
,则此循环所感受到的力矩为
τ
≈
0.008
×
5
×
10
−
5
=
4
×
10
−
7
[
N
⋅
m
]
{\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}
。
应用力矩的观念,可以制造出罗盘 。假设这罗盘的磁针,由于力矩的作用,从磁针的磁矩垂直于地磁场
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
,旋转至磁针的磁矩与地磁场
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
呈相同方向,则这罗盘-地球系统释放出的能量
U
{\displaystyle U\,\!}
为
U
≈
0.008
×
5
×
10
−
5
=
4
×
10
−
7
[
J
]
{\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}
。
由于罗盘悬浮系统的摩擦机制,这能量是以热量的形式耗散净尽。
螺线管三维电脑绘图。
一个多匝线圈(或螺线管 )的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的矢量和。对于全同匝(单层卷绕),只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数,就可得到总磁矩。然后,这总磁矩可以用来计算磁场,力矩,和储存能量,方法与使用单匝线圈计算的方法相同。
假设螺线管的匝数为
N
{\displaystyle N\,\!}
,每一匝线圈面积为
a
{\displaystyle a\,\!}
,通过电流为
I
{\displaystyle I\,\!}
,则其磁矩为
μ
=
N
I
a
{\displaystyle \mu =NIa\,\!}
。
假设,一个点电荷
q
{\displaystyle q\,\!}
以等速
v
{\displaystyle v\,\!}
绕着z-轴,移动于半径为
r
{\displaystyle r\,\!}
的平面圆形路径,则其电流为[ 7]
I
=
q
v
2
π
r
{\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!}
。
其磁矩为
μ
=
q
v
2
π
r
π
r
2
=
q
v
r
2
z
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
。
其角动量
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
为
J
=
m
v
r
z
^
{\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
。
其中,
m
{\displaystyle m\,\!}
是载电粒子的质量。
所以,磁矩与角动量的经典关系为
μ
=
q
2
m
J
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}\mathbf {J} \,\!}
。
对于电子,这经典关系为
μ
=
−
e
2
m
e
J
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}\mathbf {J} \,\!}
;
其中,
m
e
{\displaystyle m_{e}\,\!}
是电子的质量,
e
{\displaystyle e\,\!}
是电子的绝对电量。
假设,这点电荷是个束缚于氢原子 内部的电子。由于离心力 等于库仑吸引力 ,
1
4
π
ϵ
0
e
2
r
2
=
m
e
v
2
r
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!}
;
其中,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
是电常数 。
现在施加外磁场
B
=
B
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
于此氢原子,则会有额外的洛伦兹力 作用于电子。假设轨道半径不变(这只是一个粗略计算),只有电子的速度改变为
v
B
{\displaystyle v_{B}\,\!}
,则
1
4
π
ϵ
0
e
2
r
2
+
e
v
B
B
=
m
e
v
B
2
r
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}}\,\!}
。
所以,
v
B
2
−
v
2
=
(
v
B
+
v
)
(
v
B
−
v
)
=
e
v
B
B
r
m
e
{\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}}\,\!}
。
假设,两个速度的差别
Δ
v
=
v
B
−
v
{\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!}
超小,则
Δ
v
≈
e
B
r
2
m
e
{\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}}\,\!}
。
所以,由于施加外磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
,磁矩的变化为
Δ
μ
=
−
e
Δ
v
r
2
z
^
=
−
e
2
r
2
4
m
e
B
z
^
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
。
注意到
Δ
μ
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
与
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
呈相反方向,因而减弱了磁场。这是抗磁性 的经典解释。可是,抗磁性是一种量子现像,经典解释并不正确。
为了简略计算,使用半经典方法[ 8] ,可以求出磁矩的变化为
Δ
μ
=
−
e
2
⟨
r
2
⟩
4
m
e
B
z
^
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
;
其中,
⟨
r
2
⟩
{\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!}
是半径平方的期望值 。
电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子 属性,涉及到量子力学 。详尽细节,请参阅条目电子磁偶极矩 (electron magnetic dipole moment )。微观的内禀磁矩集聚起来,形成了巨观的磁效应和其它物理现象,例如电子自旋共振 。
电子的磁矩是
μ
=
−
g
e
μ
B
S
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}
;
其中,
g
e
{\displaystyle g_{e}\,\!}
是电子的朗德g因子,
μ
B
=
e
ℏ
/
2
m
e
{\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!}
是玻尔磁子 ,
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
是电子的自旋角动量。
按照前面 计算的经典结果,
g
e
=
1
{\displaystyle g_{e}=1\,\!}
;但是,在狄拉克力学 里,
g
e
=
2
{\displaystyle g_{e}=2\,\!}
;更准确地,由于量子电动力学 效应,它的实际値稍微大些,
g
S
=
2.002
319
304
36
{\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!}
。
请注意,由于这方程内的负号,电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为,经典电磁学 的解释为:假想自旋角动量是由电子绕着某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷,这旋转所产生的电流的方向是相反的方向,这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理,带有正电荷的正子 (电子的反粒子 ),其磁矩与自旋呈相同方向。
在原子内部,可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算,必须先将每一个电子的自旋总和,得到总自旋,再将每一个电子的轨角动量 总和,得到总轨角动量,最后用角动量耦合 (angular momentum coupling )方法将总自旋和总轨角动量总和,即可得到原子的总角动量。原子的磁矩
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
与总角动量
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
的关系为[ 9]
μ
=
−
g
J
μ
B
J
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!}
;
其中,
g
J
{\displaystyle g_{J}\,\!}
是原子独特的朗德g因子 。
磁矩对于磁场方向的分量
μ
z
{\displaystyle \mu _{z}\,\!}
是
μ
z
=
−
g
J
μ
B
J
z
/
ℏ
{\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!}
;
其中,
J
z
=
J
m
ℏ
{\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!}
是总角动量对于磁场方向的分量,
J
m
{\displaystyle J_{m}\,\!}
是磁量子数 ,可以取2J+1个整数値,-J、 -J+1、…、J-1、J,之中的任意一个整数值。
因为电子带有负电荷,所以
μ
z
{\displaystyle \mu _{z}\,\!}
是负值。
处于磁场的磁偶极子的动力学 ,不同于处于电场 的电偶极子 的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子,迫使它依著磁场线 排列。但是,力矩是角动量对于时间的导数。所以,会产生自旋进动 ,也就是说,自旋方向会改变。这物理行为以方程表达为
1
γ
d
μ
d
t
=
μ
×
H
{\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} \,\!}
;
其中,
γ
{\displaystyle \gamma \,\!}
是回转磁比率 (gyromagnetic ratio ) ,
H
{\displaystyle \mathbf {H} \,\!}
是磁场。
注意到这方程的左手边项目是角动量对于时间的导数,而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分:
H
=
H
e
f
f
−
λ
γ
μ
d
μ
d
t
{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}
;
其中,
H
e
f
f
{\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!}
是有效磁场(外磁场加上任何自身场),
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
是阻尼 系数。
这样,可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程 (Landau–Lifshitz–Gilbert equation )[ 10] :
1
γ
d
μ
d
t
=
μ
×
H
e
f
f
−
λ
γ
μ
μ
×
d
μ
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}
。
方程右边第一个项目描述磁偶极子绕着有效磁场的进动,第二个项目是阻尼项目,会使得进动渐渐减弱,最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程是研究磁化动力学最基本的方程之一。
核子系统是一种由核子 (质子 和中子 )组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核 的磁矩与其核子成员有关,从核磁矩的测量数据,更明确地,从核磁偶极矩的测量数据,可以研究这些量子性质。
虽然有些同位素 原子核的激发态 的衰变期 超长,大多数常见的原子核的自然存在状态是基态 。每一个同位素原子核的能态 都有一个独特的、明显的核磁偶极矩,其大小是一个常数,通过细心设计的实验,可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值,就可以揭示核子波函数 的内涵。现今,有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值,也有很多种实验技术能够进行原子核测试。
任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言,一个分子的磁矩是下列贡献的总和,按照典型强度从大至小列出:
假若有未配对电子,则是其自旋所产生的磁矩(顺磁性 贡献)
电子的轨域运动,处于基态时,所产生常与外磁场成正比的磁矩(抗磁性 贡献)
依照核自旋组态,核自旋 所产生的总磁矩。
氧 分子,O2 ,由于其最外面的两个未配对电子的自旋,具有强顺磁性。
二氧化碳 分子,CO2 ,由于电子轨域运动而产生的,与外磁场成正比的,很微弱的磁矩。在某些稀有状况下,假若这分子是由具磁性的同位素组成,像13 C或17 O,则此同位素原子核也会将其核磁性贡献给分子的磁矩。
氢 分子,H2 ,处于一个弱磁场(或零磁场),会显示出核磁性。氢分子的两种自旋异构体 ,正氢 或仲氢 ,都具有这种物理性质。
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