米田引理

在范畴论中，米田引理断言一个对象$X$的性质由它所表示的函子$\mathrm {Hom} (X,-)$或$\mathrm {Hom} (-,X)$决定。此引理得名于日本数学家暨计算机科学家米田信夫。

陈述

设${\mathcal {C}}$为一范畴，定义两个函子范畴如下：

${\mathcal {C}}^{\wedge }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}},\mathbf {Set} )$

${\mathcal {C}}^{\vee }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} )$

并定义两个函子：

$h_{\mathcal {C}}(X)=h_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,X)$

$k_{\mathcal {C}}(X)=k_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,-)$

其中$h_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\wedge }$而$k_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\vee }$。

米田引理的抽象陈述如下：

米田引理。有自然的同构

$\forall X\in {\mathcal {C}},A\in {\mathcal {C}}^{\wedge }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\wedge }}(h_{X},A)\simeq A(X)$

$\forall X\in {\mathcal {C}},B\in {\mathcal {C}}^{\vee }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\vee }}(k_{X},B)\simeq B(X)$

这两个同构对所有变元$A,B,X$都满足函子性。

对任一对象$Y\in {\mathcal {C}}$，在上述同构中分别取$A=h_{Y},B=k_{Y}$，便得到米田引理最常见的形式：

推论。函子$h_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\wedge }$与$k_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\vee }$是完全忠实的。

应用

更多信息：可表函子

由上述推论，范畴中的对象$X$由它所表示的函子$h_{X}$或$k_{X}$唯一确定（至多差一个同调），这是可表函子理论的根基所在。例如在代数几何中，一个常见的技术是将概形等同于它所代表的函子，后者往往具有直观的几何诠释，技术上亦较容易处理；另一方面，我们也往往从函子的观点研究空间的商、极限或者是模空间问题，第一步是定义适当的“函子解”，其次再研究它可表与否。代数拓扑中的分类空间也是可表函子概念的体现。

文献

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部链接

• Pierre Schapira, Categories, sites, sheaves and stacks