充分必要条件
外观
充分必要条件,简称充要条件,是逻辑学中用于描述两个陈述之间的条件关系或包含关系的术语。
在逻辑学中:
- 当命题“若P则Q”为真时,P称为Q的充分条件,Q称为P的必要条件。
因此:
- 当命题“若P则Q”与“若Q则P”皆为真时,P是Q的充分必要条件,同时,Q也是P的充分必要条件。
- 当命题“若P则Q”为真,而“若Q则P”为假时,我们称P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,反之亦然。
必要条件
[编辑]P是Q的必要条件,代表“如果P是假,则Q是假”。
以逻辑符号表示:
通过否定后件,得出“如果Q是真,则P是真”。
充分条件
[编辑]P是Q的充分条件,代表“如果P是真,则Q是真”或“如果Q是假,则P是假”。
以逻辑符号表示:
- 例子1:一个数字能被4整除,是成为偶数的充分(但不必要)条件。能被2整除,则是充分及必要条件。
必要条件及充分条件
[编辑]P是Q的充分及必要条件,代表“若且唯若P是真,则Q是真”。
以逻辑符号表示:
留意 可以推出 。
举例
[编辑]1.若P表“人类生存”,Q表“人类呼吸”
- 此时呼吸是生存的必要条件,生存是呼吸的充分条件,因为活着的人一定要呼吸,
- (错误)
- 然而呼吸并非生存的充分条件,生存并非呼吸的必要条件,因为只会呼吸并不足以让人生存下去,
- 故P为Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件。
2.若P表“三角形三边长相等”,Q表“三角形三内角相等”
- 此时这2个条件互为“充分(且)必要条件”。[1]
3.若P表“正整数x是完全平方数”,Q表“正整数x的正因数个数是奇数”
- 此时这2个条件互为“充分(且)必要条件”。
参考文献
[编辑]- ^ 充分條件Sufficient Condition. 国家教育研究院. 新北市三峡区: 中华民国教育部. [2014-06-19]. (原始内容存档于2021-06-06).