婆罗摩笈多-斐波那契恒等式

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式 是以下的恒等式：

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad \qquad (1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\qquad \qquad (2)\end{aligned}}

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如，

(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=30^{2}+1^{2}=26^{2}+15^{2}.\,

(1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。(2)可以通过把(1)中的 $b$ 换成 $-b$ 来得出。

这个等式在整数环和有理数环中都成立。更一般地，在任何的交换环中都成立。

它在数论中有很多应用，例如费马平方和定理说明任何被4除余1的素数都能表示为两个平方数的和，则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式，任何两个被4除余1的素数的积也都能表示为两个平方数的和。

证明

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\\&=\left(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}{\color {red}-2abcd}\right)+\left(a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}{\color {red}+2abcd}\right)\\&=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\end{aligned}}

而若将 ${\color {red}-2abcd}$ 与 ${\color {red}+2abcd}$ 互换位置，即可得

\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}

如果 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 是实数，那么这个等式与复数的绝对值的乘法性质是等价的，也就是说：

|a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|\,

由于

|a+bi||c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,\,

两边平方，得

|a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},\,

根据绝对值的定义，

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,

在 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 是有理数的情况中，这个等式可以解释为域 $Q(i)$ 的范数是积性的。也就是说：

N(a+bi)=a^{2}+b^{2}\,

且

N(c+di)=c^{2}+d^{2},\,

而且

N[(a+bi)(c+di)]=N[(ac-bd)+i(ad+bc)]=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,

所以，这个等式就是说

N[(a+bi)(c+di)]=N(a+bi)\cdot N(c+di).\,