珠算

珠算，指的是用算盘进行计算，一般特指用中式算盘进行计算。珠算领域对四则运算统整出了一套系统的计算规则，统称珠算法则。其源于中国筹算，在东汉徐岳所著《数术记遗》记载上古十四种算法，珠算为其一。不过，当时尚无现在的算盘，是把算珠放于以凹槽为档的板上作为算盘。

2013年，联合国教科文组织将其列入人类非物质文化遗产代表作名录。

术语

珠算已发展成一系统，亦衍生出许多相关术语，为便于说明，参考国珠联的《珠算统一用语表》略简述之：

• 算盘术语
  • 框
  • 梁
  • 上珠
  • 下珠
• 运珠相关
• 算术术语
  • 加算：即加法计算。
    • 被加数： a
    • 加数： b
    • 和： $a+b=c$ 的 c
  • 减算：即减法计算
    • 被减数： a
    • 减数： b
    • 差： $a-b=c$ 的 c
  • 乘算：即乘法计算
    • 实、被乘数： a
    • 法、乘数： b
    • 积： $a\times b=c$ 的 c
  • 除算：即除法计算
    • 实、被除数： a
    • 法、除数： b
    • 商： $a\div b=c$ 的 c
    • 馀： $a\div b=c..d$ 的 d

运珠

有两种方式：

1. 双手拨珠，以中国为主，另有俄罗斯、哈萨克、南非、乌兹别克、土耳其、摩洛哥及中东的伊朗、沙乌地阿拉伯、阿联酋、约旦、黎巴嫩等。
2. 单手运珠，以台湾、日本、韩国为主，另有马来西亚、新加坡、泰国、香港、美国、加拿大、巴西、澳洲等。

二五珠算盘

一般只用拇指、食指和中指拨珠（亦有极少数非常熟练的人五指全用），三个手指的基本分工是：

• 拇指拨下珠向上靠梁。
• 食指拨下珠向下离梁。
• 中指拨上珠靠梁和离梁。

一四珠算盘

（或一五珠算盘）：两个手指的基本分工是：

• 食指拨上珠向下靠梁。
• 食指拨上珠向上离梁。
• 拇指拨下珠向上靠梁。
• 食指拨下珠向下离梁。

一五珠算盘

两个手指的基本分工是：

• 食指拨上珠向下靠梁。
• 食指拨上珠向上离梁。应该是拇指
• 拇指拨下珠向上靠梁。
• 食指拨下珠向下离梁。

算法

布数

布数是指表现数字的算珠摆放方式。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

加算

方法为同位值相加，逢十进一，计算时由又高位档向低位档依次相加。

（例）1937+284

置数		百位档相加 $+200$		十位档相加 $+80$		个位档相加 $+4$
	→		→		→
$1937$		$2137$		$2217$		$2221$

口诀

可辅助学习，熟练后亦可不用。

加数	不进位加		进位加
	直加	满五加	进十加	破五进十加
一	一上一	一下五去四	一去九进一
二	二上二	二下五去三	二去八进一
三	三上三	三下五去二	三去七进一
四	四上四	四下五去一	四去六进一
五	五上五		五去五进一
六	六上六		六去四进一	六上一去五进一
七	七上七		七去三进一	七上二去五进一
八	八上八		八去二进一	八上三去五进一
九	九上九		九去一进一	九上四去五进一

以 +3 为例:

• “三上三”是指“（若下珠够加）直接上拨三颗”(=+3)。
• “三下五去二”是指“（若下珠不够加，且没有上珠），则拨下一颗上珠，去掉两伙下珠”（=+5-2）。
• “三去七进一”是指“（若下珠不够加，且有上珠），则去掉七，再高一位进一”（=+10-7）。

其中，“三下五去二”亦是成语中“三下五除二”的由来。

减算

方法为同位值相减，不够借位，计算时由高位档向低位档依次相减。

（例）2756-957

置数		百位档相减 $-900$		十位档相减 $-50$		个位档相减 $-7$
	→		→		→
$2756$		$1856$		$1806$		$1799$

口诀

可辅助学习，熟练后亦可不用。

减数	不退位减		退位减
	直减	破五减	退位减	退十补五减
一	一去一	一上四去五	一退一还九
二	二去二	二上三去五	二退一还八
三	三去三	三上二去五	三退一还七
四	四去四	四上一去五	四退一还六
五	五去五		五退一还五
六	六去六		六退一还四	六退一还五去一
七	七去七		七退一还三	七退一还五去二
八	八去八		八退一还二	八退一还五去三
九	九去九		九退一还一	九退一还五去四

以 -3 为例:

“三去三”是指“（若下珠够减）直接拨去三颗”(=-3)。 “三上二去五”是指“（若下珠不够减，且有上珠），则拨去上珠，并加上二颗下珠”（=-5＋2）。 “三退一还七”是指“（若下珠不够减，且没有上珠），则更高一位减一，并加上七”（=-10+7）。

负数

遇到小数减大数时，可以用到一种技巧叫作悬珠来代表负数。悬珠是指将算珠移到不靠梁，也不靠框。其观念同计算机中的二补数。

乘算

基本原则就是，将乘数分解为每分数，分别乘上被乘数后相加。如：要计算 32×97

$32*97$

$=32*(90+7)$

$=32*90+32*7$

更进一步分解，

$=(30+2)*90+(30+2)*7$

$=30*90+2*90+30*7+2*7$

计算时，不用考虑位值，则只需计算一位×一位，如：30×90 ，只需计算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先将每个一位×一位的结果先计算出来，此即为乘法口诀——九九歌。

而使用珠算计算时，因为数字都在盘面上，所以要考虑是否要将实（被乘数）、法（乘数）放置盘面上，放的位置（因计算结果会愈来愈长，可能会与原本被乘数、乘数放置的地方重叠而影响）、计算顺序、如何定位等。而根据计算方法，主要有两大类：

• 看头乘法，被乘数、乘数放置盘面上。
  • 看头乘法，又称见乘法，乘法速算法。
• 破头乘法，被乘数、乘数不放置盘面上。
  • 破头乘法，又称头乘法
  • 破头乘法别法，又称新头乘法，或称隔位乘法。

此外，另有一种技巧 凑倍乘法，古称金蝉脱壳，又称迭皮乘、加减乘法、变积乘法、倍数乘法、加乘法。可将乘法转为加减算，从而不需要九九乘法。

其基本想法为：“因为将每个乘数分解成多个一位数，最多只有 9 种可能（0 不用计算）”，而这 9 种可能，都可以改为“×1、×2、×5的某种组合”如：被乘数×8 相当于 被乘数x(10-2)。而“×1、×2、×5”这三种运算是容易心算的。

看头乘法

破头乘法

新头乘法

（例）32×97

	→		→		→
32		算“2”字		2×90		+2×7
	→		→		→
		算“3”字		+30×90		+30×7	=3104

凑倍乘法

除算

方法跟长除法类似，即逐位（由高位向低位）来决定适合的商。计算方式主要分两步骤估商（或试商）和减积。

计算方法有：商除法、归除法、凑倍除法。

商除法

以约率为例。为简单起见，先以两个算盘（一个记录商，一个记录馀）说明之。

（例）$22\div 7$

• 第一位

置数			估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}3}}$			减积 $-3\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}21}}$
		→			→
$000$ ($3.00$)	${\mathbf {\color {Red}22}}00$ ($22.00$)		${\mathbf {\color {Red}3}}00$ ($3.00$)	$2200$ ($22.00$)		$300$ ($3.00$)	${\mathbf {\color {Red}01}}00$ ($1.00$)
${\begin{array}{lr}&\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}22}}}}\\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}21}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}\\\end{array}}$

• 第二位

			估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}1}}$			减积 $-1\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}7}}$
		→			→
$300$ ($3.00$)	$0100$ ($1.00$)		$3{\mathbf {\color {Red}1}}0$ ($3.10$)	$0100$ ($1.00$)		$310$ ($3.10$)	$0{\mathbf {\color {Red}03}}0$ ($0.30$)
${\begin{array}{lr}&3_{.}\ \ \ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ \ }}\\&10\ \ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}{\mathbf {\color {Red}1}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ }}\\&10\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}1\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ }}\\&10\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}3}}\ \\\end{array}}$

• 第三位

			估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}4}}$			减积 $-4\times 7={\mathbf {\color {Red}28}}$
		→			→
$310$ ($3.10$)	$0030$ ($0.30$)		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$ ($3.14$)	$0030$ ($0.30$)		$314$ ($3.14$)	$00{\mathbf {\color {Red}02}}$ ($0.02$)
${\begin{array}{lr}&3_{.}1\ \ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}1{\mathbf {\color {Red}4}}\ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}14\ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}28}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}2}}\ \\\end{array}}$

得到 $22\div 7=3.14..0.02$。

而实际在计算时，会使用一个算盘同时放置商数和馀数，就是分区放。要如何有效利用有限的档位，又不影响计算，其规律就是够除，隔位置商；不够除，挨位置商。

以密率为例，说明完整的商除法。

以 $355\div 113$ 为例

• 第一位

置数		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}3}}$。够除，隔位置商。		减积 $-3\times 113=-{\mathbf {\color {Blue}339}}$
	→		→
$00$"$355000000$		${\mathbf {\color {Red}3}}0$"$355000000$		$30$"${\mathbf {\color {Red}016}}000000$
${\begin{array}{lr}&\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}355}}}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}339}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}16}}\\\end{array}}$

• 第二位

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}1}}$。够除，隔位置商。		减积 $-1\times 113=-{\color {Blue}113}$
	→		→
$310$"$16000000$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}0$"$16000000$		$310$"${\mathbf {\color {Red}047}}00000$
${\begin{array}{lr}&3\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&16\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}113}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}47}}\\\end{array}}$

• 第三位

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}4}}$。够除，隔位置商。		减积 $-4\times 113=-{\color {Blue}452}$
	→		→
$3100$"$4700000$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}0$"$4700000$		$3140$"${\mathbf {\color {Red}018}}0000$
${\begin{array}{lr}&3.1\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}452}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}18}}\\\end{array}}$

• 第四位

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}1}}$。够除，隔位置商。		减积 $-1\times 113=-{\color {Blue}113}$
	→		→
$31400$"$180000$		$314{\mathbf {\color {Red}1}}0$"$180000$		$31410$"${\mathbf {\color {Red}067}}000$
${\begin{array}{lr}&3.14\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}113}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}67}}\\\end{array}}$

• 第五位

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}5}}$。够除，隔位置商。		减积 $-5\times 113=-{\color {Blue}565}$
	→		→
$314100$"$67000$		$3141{\mathbf {\color {Red}5}}0$"$67000$		$314150$"${\mathbf {\color {Red}105}}00$
${\begin{array}{lr}&3.141\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&67\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&670\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&670\\&{\underline {-565}}\\&105\\\end{array}}$

• 第六位。注意，这位是不够除，挨位置商。

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}9}}$。不够除，挨位置商。		减积 $-9\times 113=-{\color {Blue}1017}$
	→		→
$314150$"$10500$		$31415{\mathbf {\color {Red}9}}$"$10500$		$314159$"${\mathbf {\color {Red}0033}}0$
${\begin{array}{lr}&3.1415\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&105\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415{\mathbf {\color {Red}9}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&1050\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&105\ \ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}1017}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}33}}\\\end{array}}$

• 第七位。

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}2}}$。够除，隔位置商。		减积 $-2\times 113=-{\color {Blue}226}$
	→		→
$31415900$"$330$		$314159{\mathbf {\color {Red}2}}0$"$330$		$31415920$"${\mathbf {\color {Red}104}}$
${\begin{array}{lr}&3.14159\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&33\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&330\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141592\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&330\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}226}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}104}}\\\end{array}}$

得 $355\div 113=3.141592..0.000104$

修正商

计算过程中，若发现所估的商过大，则要退商；若估商太小，则要补商。

归除法

其基本想法是，将一些可能的除算先计算出结果，并将商与除数化作口诀，来加速计算除法。

除数为一位的称为单归法，除数为多位的，则为归除法。

九归诀

目前可知最早的记载为朱世杰所撰《算学启蒙》卷上《归除歌诀》：“ 一归如一进、见一进成十；
二一添作五、逢二进成十、四进二十、六进三十、八进四十；
三一三十一、三二六十二、逢三进成十、六进二十、九进三十；
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四进成十、八进二十；
五归添一倍、逢五进成十；
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六进成十；
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七进成十；
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八进成十；
九归随身下、逢九进成十
”

整个歌诀的作用为，“罗列所有被除数及除数的首数的可能，得出商数和馀数”。
以三一三十一为例，第一个数字为三，是除数的首数为三，第二个数字为一，是被除数首数为一，数字虽为 1，但计算的是 $1\times 10$ 。 而三十一意指商为 3 ，馀为 1。同样的，三二六十二是指$20\div 3=6..2$。逢三进成十是指$30\div 3=10..0$。
有些语句是用下加几来表示，是指商数不变（与被除数首数相同），馀数则为那个几。以七二下加六为例，$20\div 7=2..6$。 五归添一倍是指“用 5 去除一个数，相当于此数加倍”（如：$30\div 5=6$）

其中，部分口诀，也成了成语。如二一添作五意味两者平分，三一三十一意味三者平分。

其他版本

也有几种不同的版本，如简化版：“
一归如一进，见一进成十；
二一添作五，逢二进成十；
三一三十一，三二六十二，逢三进成十；
四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进成十；
五归添一倍，逢五进成十；
六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六进成十；
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进成十；
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进成十；
九归随身下，逢九进成十。
”

或者，改为更易理解的语句，如将“三一三十一”改为“三一三馀一”，“逢三进成十”改为“逢三进一”。如：“
一归：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九。
二归：逢二进一，逢四进二，逢六进三，逢八进四，二一添作五。
三归：逢三进一，逢六进二，逢九进三，三一三馀一，三二六馀二。
四归：逢四进一，逢八进二，四二添作五，四一二馀二，四三七馀二。
五归：逢五进一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。
六归：逢六进一，逢十二进二，六三添作五，六一下加四，六二三馀二，六四六馀四，六五八馀二。
七归：逢七进一，逢十四进二，七一下加三，七二下加六，七三四馀二，七四五馀五，七五七馀一，七六八馀四。
八归：逢八进一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六馀二，八六七馀四，八七八馀六。
九归：逢九进一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。
”

单归法（除数为一位）

以约率为例。

（例） $22\div 7$

七归

置数		七二下加六 商设为 $2$ 下一档 $+6$		逢七进一 商$+1$ 本档$-1$。		七一下加三 商设为 $1$ 下一档 $+3$		七三四馀二 商设为 $4$ 下一档 $+2$
	→		→		→		→
${\displaystyle }$"$2200$		${\mathbf {\color {Red}2}}$"${\mathbf {\color {Red}8}}00$		${\mathbf {\color {Red}31}}$"$00$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}3}}0$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$"${\mathbf {\color {Red}2}}$
${\begin{array}{lr}7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}2}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}14}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}8}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&-14\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ }}\\&{\underline {-21\ \ }}\\&10\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}3}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ }}\\&{\underline {-21.7\ \ }}\\&30\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}28}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}2}}\\\end{array}}$

得 $22\div 7=3.14..0.02$

归除法（除数为多位）

跟单归法类似，也是借助九归歌。可以理解成使用九归歌来估商。

以 $12345\div 321$ 为例，可以先用 300 来估商，因此使用口诀中的三归口诀。口诀已完成了 300 的减积（如“三一三馀一”中，馀一的部分已加入下一档）。但 21 的部分仍未减积。因此归除法区分两个观念：除数的首数称为归，除数的首数以外的数称为除。除数为 321 的话，称作3归21除，意味著用 3归求商及其减积，再以 21 来完成乘下的减积。

减积后，有可能发现的估商需要调整。若过小，需要增商，这部分口诀中已包含“逢 n 进为十”；若过大，则需退商，则有退商口诀：

• 一归：无除起一下还一
• 二归：无除起一下还二
• 三归：无除起一下还三
• 四归：无除起一下还四
• 五归：无除起一下还五
• 六归：无除起一下还六
• 七归：无除起一下还七
• 八归：无除起一下还八
• 九归：无除起一下还九

这口诀有明显规律：“无除起（也有作“退”）一下还 n”，无需特别记忆。

另外，也有可能发现在某些情况（即除数、被除数差不多大，却又不够除时）下，无法估商，则使用撞归口诀：

• 一归：见一无除撞九一
• 二归：见二无除撞九二
• 三归：见三无除撞九三
• 四归：见四无除撞九四
• 五归：见五无除撞九五
• 六归：见六无除撞九六
• 七归：见七无除撞九七
• 八归：见八无除撞九八
• 九归：见九无除撞九九

这口诀也有明显规律：“见 n 无除撞（也有作“作”）九 n”，无需特别记忆。它的意思是，在“除数、被除数的首数同为 n，却又不够除，直接估商为 9，下一档要 +n”时。当首数相同，却又无法进 1 （代表 10），则估商就从 9 开始。减积后，需要在下一档 +n 。

以密率为例，因为除数为 $113$，故称之为“一归十三除”，相关口诀如下：

• 九归口诀：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九。
• 退商口诀：无除起一下还一。
• 撞归口诀：见一无除撞九一。

（例）$355\div 113$

• 第一位

一归十三除

置数		逢三进三 商为 ${\mathbf {\color {Red}3}}$		以十三除减积 $-3\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}39}}$。
	→		→
$0$"$3550000000$		${\mathbf {\color {Red}3}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}550000000$		$3$"$0{\mathbf {\color {Red}16}}0000000$
${\begin{array}{lr}&\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}355}}}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}300}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}55}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&-300\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}39}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}16}}\\\end{array}}$

• 第二位

一归十三除

前次结果		逢一进一 商为 ${\mathbf {\color {Red}1}}$		以十三除减积 $-1\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}13}}$。
	→		→
$30$"$160000000$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}60000000$		$31$"$0{\mathbf {\color {Red}47}}000000$
${\begin{array}{lr}&3\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&16\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}100}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}60\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\&-100\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}13\ }}}}\\&{\mathbf {\color {Red}47\ }}\\\end{array}}$

• 第三位

一归十三除

前次结果		逢四进四 商为 ${\mathbf {\color {Red}4}}$		以十三除减积 $-4\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}52}}$。
	→		→
$310$"$4700000$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}700000$		$314$"$0{\mathbf {\color {Red}18}}0000$
${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-3503}}\\&47\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}4}}00\ }}\\&70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&-400\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}52}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}18}}\ \\\end{array}}$

• 第四位

一归十三除

前次结果		逢一进一 商为 ${\mathbf {\color {Red}1}}$		以十三除减积 $-1\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}13}}$。
	→		→
$3140$"$180000$		$314{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}80000$		$3141$"$0{\mathbf {\color {Red}67}}000$
${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ }}\\&18\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ \ \ }}\\&180\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}100}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}80\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ \ \ }}\\&180\ \\&-100\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}13\ }}}}\\&{\mathbf {\color {Red}67}}\ \\\end{array}}$

• 第五位

一归十三除

前次结果		逢六进六 商为 ${\mathbf {\color {Red}6}}$		以十三除减积 ${\begin{array}{ll}-6\times 13&=-6\times (10+3)\\&=-{\mathbf {\color {Blue}60}}-{\mathbf {\color {Purple}18}}\\\end{array}}$		加回减积		退商 无除起一下还一 商$-1$为 ${\mathbf {\color {Red}5}}$，下一档$+1$		以十三除减积 $-5\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}65}}$。
	→		→		→		→		→
$31410$"$67000$		$3141{\mathbf {\color {Red}6}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}7000$		$31416$"$0{\mathbf {\color {Red}1}}000$		$31416$"$0{\mathbf {\color {Red}7}}000$		$3141{\mathbf {\color {Red}5}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}7000$		$31415$"$1{\mathbf {\color {Red}05}}00$
${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ }}\\&67\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}6}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1416\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&70\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}60}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}10}}\ &{\mathbf {\color {Purple}<18}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1416\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&70\ \\&-60\ \\&{\underline {+{\mathbf {\color {Blue}60}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}70}}\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-500\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&-500\ \\&{\underline {-65\ }}\\&1{\mathbf {\color {Red}05}}\ \\\end{array}}$

• 第六位

一归十三除

前次结果		见一无除撞九一 商为 ${\mathbf {\color {Red}9}}$，下一档 $+1$		以十三除减积 $-9\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}117}}$。
	→		→
$31415$"$10500$		$31415{\mathbf {\color {Red}9}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}500$		$314159$"${\mathbf {\color {Red}033}}0$
${\begin{array}{lr}&3.1415\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&105\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415{\mathbf {\color {Red}9}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&1050\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}9}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}50\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&1050\ \\&-900\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}117}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}33}}\ \\\end{array}}$

• 第七位

一归十三除

前次结果		逢三进三 商为 ${\mathbf {\color {Red}3}}$		以十三除减积 ${\begin{array}{ll}-3\times 13&=-3\times (10+3)\\&=-{\mathbf {\color {Blue}30}}-{\mathbf {\color {Purple}9}}\\\end{array}}$		加回减积		退商 无除起一下还一 商$-1$为 ${\mathbf {\color {Red}2}}$，下一档$+1$		以十三除减积 $-5\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}65}}$。
	→		→		→		→		→
$3141590$"$330$		$314159{\mathbf {\color {Red}3}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}30$		$3141593$"$0{\mathbf {\color {Red}0}}0$		$3141593$"$0{\mathbf {\color {Red}3}}0$		$314159{\mathbf {\color {Red}2}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}30$		$3141592$"$1{\mathbf {\color {Red}04}}$
${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ }}\\&33\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}3}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}30\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141593\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-300\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}3}}0\ }}\\&0{\mathbf {\color {Red}0}}0\ &{\mathbf {\color {Purple}<9}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141593\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-300\ \\&-30\ \\&{\underline {+{\mathbf {\color {Blue}3}}0\ }}\\&0{\mathbf {\color {Red}3}}0\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}2}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}30\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-200\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}26}}\ }}\\&1{\mathbf {\color {Red}04}}\ \\\end{array}}$

得 $355\div 113=3.141592..0.000104$。

凑倍除法

或称累减除法、大扒皮，首见于《九章详注比类算法大全》，是一种不用九九乘法而用累减的计算方式。

开平方

开平方必须至少三副都是至少十三档算盘, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅

验算

还原验算法

一、交换律

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:加數+被加數=和數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:被減數-差數=減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：乘數*被乘數=積

二、逆运算

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:差數+減數=被減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：積/被乘數=乘數
   除法算式：被除數/除數=商(及餘數)
   驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數

三、尾错复尾

   只再計算最後幾位數一次

九馀数法

只能验加法,减法,乘法和乘幂

范例一、 123+456=599

        123=1+2+3=6(mod 9)
        456=4+5+6=6(mod 9)
        599=5+9+9=5(mod 9)
       因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579

范例二、 123*456=68934

         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
       因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088

范例三、 22*68*53=369780

         22=4(mod 9)
         68=5(mod 9)
         53=8(mod 9)
         369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
        因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288

范例四、 23^4=367981

         23^4=(-4)^4=4(mod 9)
         367981=34=7(mod 9)
       因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841

   九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
         

九除法

十一除法

二除法

珠算竞技

珠算竞技可分为珠算竞技和心算竞技两大类，心算竞技是运用珠算式心算技巧。

外部链接

• 珠算全球资讯网 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 中华民国儿童珠算协会／中华珠算心算教育协会 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 世界珠心算网 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参见

• 算盘
• 筹算
• 心算
• 《算法统宗》