代數拓撲

環面，代數拓撲學中最常出現的研究對象之一。

代數拓撲（英語：Algebraic topology）是使用抽象代數的工具來研究拓撲空間的數學分支。其基本目標是通過尋找拓撲空間的具有代數結構的不變量，從而將拓撲空間分類。

儘管代數拓撲學主要通過代數研究拓撲問題，但有時也可以使用拓撲學知識解決代數問題。例如，代數拓撲學可以方便地證明自由群的任何子群又是一個自由群。

代數拓撲的主要分支

代數拓撲的幾個主要分支如下：

同倫群

主條目：同倫群

在數學中，同倫群是一個用於分類拓撲空間。基本群是同倫群最簡單的例子，記錄了空間中環結的信息。直觀上來說，同倫群記錄了拓撲空間中的基本形狀，即「孔洞」的信息。

同調

主條目：同調

在代數拓撲和抽象代數中，同調（homology，名稱部分來源於希臘語ὁμός homos = "同"）是一類將一個阿貝爾群或模的序列聯繫到一個給定數學對象（如拓撲空間、群等）的過程

上同調

主條目：上同調

在同調論中，上同調是對一個在上鏈復形（co-chain）上定義一個阿貝爾群的序列的過程的統稱。換言之，上同調是對「上鏈」、餘圈（cocycle）和上邊緣（coboundary）的抽象研究。上同調可以看作是一種對拓撲空間賦予代數不變量的方法，但其代數結構比同調更為精煉。上同調源於同調的構造過程的代數對偶。通俗意義上講，上鏈的基本意義是為同調的鏈賦予某種「量」。

流形

主條目：流形

流形是局部上近似於歐幾里得空間的拓撲空間。更精確的說，n-流形上的每一點都有一個同胚於n維歐式空間的鄰域。舉例來說，直線和圓都是一維流形，但數字8則不是。二維流形也稱作曲面。二維流形的例子有平面、球面和環面等可看作三維空間中的物體的對象，但也包括克萊因瓶和實射影平面等不可看作三維空間裡的物體，而必須看作四維空間裡的物體的對象。

紐結理論

主條目：紐結理論

紐結理論是對（數學意義上的）紐結的研究。雖然紐結的概念是受現實生活中的繩結啟發，對數學家而言「繩結」的兩端是粘連在一起的，因而不能解開。在數學上，紐結的精確定義為圓在三維歐幾里得空間R³的嵌入。若一個紐結能由另一個紐結通過對R³變形而得到（亦稱環境同痕），我們就將其視為同一個紐結。這樣的對環境的變換相當於對一個線圈進行連續操作，但避免剪開線圈或使線圈穿過自身。

復形

主條目：單純復形和CW復形

單純復形是拓撲空間的一類，由點、線段、三角形等單純形「粘合」而成。單純復形不應當與範疇同倫論中的單純集合混淆。單純形在組合學中對應於抽象單純形。

CW復形是一種拓撲空間，由J.H.C.懷特海德為迎合同倫論的需要而引入。這類空間比單純形有更良好的範疇學性質，且仍舊保留其組合學的本質，因此計算方面的考慮沒有被忽略。

代數不變量方法

這裡的目標是取拓撲空間然後把它們進一步分成範疇或分類。該課題的舊稱之一是組合拓撲，蘊含着將重點放在如何從更簡單的空間構造空間X的意思。現在應用於代數拓撲的基本方法是通過函子，把空間映射到相應的代數範疇上。例如，通過一種保持空間的同胚關係的方式映射到群上。

實現這個目標的主要方法是通過基本群，或者更一般的同倫論，和同調及上同調群。基本群給了我們關於拓撲空間結構的基本信息，但它們經常是非交換的，可能很難使用。（有限）單純復形的基本群的確有有限表示。

另一方面來講，同調和上同調群是交換群，並且在許多重要情形下是有限生成的。有限生成交換群有完整的分類，並且特別易於使用。

同調的結果

通過使用有限生成可交換群可以立刻得出幾個有用的結論。單純復形的n-階同調群的自由階等於n-階貝蒂數（Betti number），所以可以直接使用單純復形的同調群來計算它的歐拉示性數。作為另外一個例子，閉流形的最高維的積分上同調群可以探測可定向性：該群同構於整數或者0，分別在流形可定向和不可定向時。這樣，很多拓撲信息可以在給定拓撲空間的同調中找到。

在只定義在單純復形的單純同調之上，還可以使用光滑流形的微分結構來通過德拉姆上同調或Čech上同調或層上同調來研究定義在流形上的微分方程的可解性。德拉姆證明所有這些方法是相互關聯的，並且對於閉可定向流形，通過單純同調得出的貝蒂數和從德拉姆上同調導出的是一樣的。

在範疇論中

一般來講，所有代數幾何的構造都是函子式的：概念範疇，函子和自然變換起源於此。基本群，同調和上同調群不僅是兩個拓撲空間同胚時的不變量；而且空間的連續映射可以導出所相關的群的一個群同態，而這些同態可以用於證明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。

代數拓撲的問題

代數拓撲的經典應用包括：

• 布勞威爾不動點定理：每個從n維圓盤到自身的連續映射存在一個不動點。
• n維球面可以有一個無處為0的連續單位向量場當且僅當n是奇數。（對於n=2，這有時被稱為"毛球定理"。）
• 博蘇克-烏拉姆定理：任何從n維球面到歐氏n維空間的映射至少將一對對角點映射到同一點。
• 任何自由群的子群是自由的。這個結果很有意思，因為該命題是純代數的而最簡單的證明卻是拓撲的。也就是說，任何自由群G可以實現為圖X的基本群。覆蓋空間的主定理告訴我們每個G的子群H是某個X的覆蓋空間Y的基本群；但是每個這樣的Y又是一個圖。所以其基本群H是自由的。

代數拓撲中最著名的問題之一是龐加萊猜想，它已經由俄國數學家格里戈里·佩雷爾曼於2003年解決。同倫論領域包含了很多懸疑，如表述球面的同倫群的正確方式等。

參考文獻

來源

• Allen Hatcher, Algebraic Topology ，劍橋大學出版社，劍橋，2002年。ISBN 0-521-79540-0.現代的帶幾何特色的代數拓撲介紹。該書有免費PDF和PostScript格式免費下載，網址作者的主頁（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• C. R. F. Maunder, Algebraic Topology（1970）Van Nostrand Reinhold, London ISBN 73-105346.