偏序關係

偏序集合（英語：Partially ordered set，簡寫Poset）是數學中，特別是序理論中，指配備了偏序關係的集合。這個理論將對集合的元素進行排序、順序或排列等直覺概念抽象化。這種排序不必是全部的，就是說不需要保證此集合內的所有對象的相互可比較性。偏序空間（英語：Partially ordered space）是具有閉偏序的拓撲空間。

定義

非嚴格偏序，自反偏序

給定集合S，「≤」是S上的二元關係，若「≤」滿足：

自反性：∀a∈S，有a≤a；
反對稱性：∀a，b∈S，a≤b且b≤a，則a=b；
傳遞性：∀a，b，c∈S，a≤b且b≤c，則a≤c；

則稱「≤」是S上的非嚴格偏序或自反偏序。

嚴格偏序，反自反偏序

給定集合S，「＜」是S上的二元關係，若「＜」滿足：

反自反性：∀a∈S，有a≮a；
反對稱性：∀a，b∈S，a＜b ⇒ b≮a；
傳遞性：∀a，b，c∈S，a＜b且b＜c，則a＜c；

則稱「＜」是S上的嚴格偏序或反自反偏序。

嚴格偏序與有向無環圖（DAG）有直接的對應關係。一個集合上的嚴格偏序的關係圖就是一個有向無環圖。其傳遞閉包是它自己。

偏序

容易證明以下結論：

給定集合S上的一個（非嚴格，自反）偏序「≤」，則可自然地誘導出S上的一個（嚴格，反自反）偏序「<」，只需如此定義：a < b，如果 a ≤ b 且 a ≠ b。
給定集合S上的一個（嚴格，反自反）偏序「<」，則可自然地誘導出S上的一個（非嚴格，自反）偏序「≤」，只需如此定義：a ≤ b，如果 a < b 或 a = b。
給定集合S上的一個（非嚴格，自反）偏序「≤」，其逆關係「≥」也是S上的一個（非嚴格，自反）偏序；
給定集合S上的一個（嚴格，反自反）偏序「<」，其逆關係「>」也是S上的一個（嚴格，反自反）偏序；

由上述可知，只要定義了「≤」、「<」、「≥」、「>」中的任何一個，其餘三個關係的定義可以自然誘導而出，這四種關係實際上可以看成一體。故此在不嚴格區分的情況下，只需定義其一即可（通常是「≤」），稱之為集合S上的偏序關係。（「偏序關係」通常被用來稱呼非嚴格偏序關係。）

（非嚴格，自反）偏序和（嚴格，反自反）偏序之間的對應關係不同於在（非嚴格）弱序和嚴格弱序直接的對應（逆關係的補集）。只有對於全序這些對應才是相同的。

偏序集與序對偶

若集合S上定義了一個偏序，則S稱為偏序集（poset）；若將其上的偏序關係改為其逆關係，得到的新偏序集S'稱為S的序對偶。

雖然通常術語「有序集」用來稱呼全序集，但當上下文中不涉及其他序關係時，「有序集」也可用於稱呼偏序集。

完全性

例子

下面是一些主要的例子：

自然數的集合配備了它的自然次序（小於等於關係）。這個偏序是全序。

整數的集合配備了它的自然次序。這個偏序是全序。

自然數的集合的有限子集{1, 2, ..., n}。這個偏序是全序。

自然數的集合配備了整除關係。

給定集合的子集的集合（它的冪集）按包含排序。

向量空間的子空間的集合按包含來排序。

一般的說偏序集合的兩個元素x和y可以處於四個相互排斥的關聯中任何一個：要麼x < y，要麼x = y，要麼x > y，要麼x和y是「不可比較」的（三個都不是）。全序集合是用規則排除第四種可能的集合：所有元素對都是可比較的，並且聲稱三分法成立。自然數、整數、有理數和實數都關於它們代數（有符號）大小是全序的，而複數不是。這不是說複數不能全序排序；比如我們可以按詞典次序排序它們，通過x+iy < u+iv當且僅當x < u或(x = u且y < v)，但是這種排序沒有合理的大小意義因為它使得1大於100i。按絕對大小排序它們產生在其中所有對都是可比較的預序，但這不是偏序因為1和i有相同的絕對大小但卻不相等，違反了反對稱性。

線性擴展

全序T是偏序P的線性擴展，只要x ≤ y在P中成立則x ≤ y在T中也成立。在計算機科學中，找到偏序的線性擴展的算法叫做拓撲排序。

參見

引用

J. V. Deshpande, On Continuity of a Partial Order, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 19, No. 2, 1968, pp. 383-386