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尺規作圖

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正五邊形的作圖
伏羲和女媧手裡分別拿着摺尺和圓規

尺規作圖(英語:Compass-and-straightedge 或 ruler-and-compass construction)是起源於古希臘數學課題。只使用圓規直尺,並且只准許使用有限次,來解決不同的平面幾何作圖題。

值得注意的是,以上的「直尺」和「圓規」是抽象意義的,跟現實中的並非完全相同,具體而言,有以下的限制:

  • 直尺必須沒有刻度,無限長,只可以做過兩點之直線。
  • 圓規可以開至無限寬,但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度或一個任意的長度。

尺規作圖的研究,促成數學上多個領域的發展。有些數學結果就是為解決古希臘三大名題而得出的副產品,對尺規作圖的探索推動了對圓錐曲線的研究,並發現了一批著名的曲線。

若干著名的尺規作圖已知是不可能的,而當中很多不可能的例子是利用了19世紀出現的伽羅瓦理論以證明。儘管如此,仍有很多業餘者嘗試這些不可能的題目,當中以化圓為方三等分任意角(Angle trisection)最受注意。

原理

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作圖公法

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作圖公法

以下是尺規作圖中可用的基本方法,也稱為作圖公法,任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法:

  • 通過兩個已知點可作一直線。
  • 已知圓心和半徑可作一個圓。
  • 若兩已知直線相交,可得其交點。
  • 若已知直線和一已知圓相交,可得其交點。
  • 若兩已知圓相交,可得其交點。

問題

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古希臘三大難題

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古希臘三大難題是早期希臘數學家特別感興趣的三個問題。由於我們的現代幾何學知識是從希臘發源的,因此這三個古典幾何問題在幾何學中有着很高的地位。它們分別是:

化圓為方問題
求一個正方形的邊長,使其面積與一已知圓的相等。
三等分角問題
求一角,使其角度是一已知角度的三分之一(可以用只有一點刻度的直尺與圓規作出)
倍立方問題。
求一立方體的棱長,使其體積是一已知立方體的二倍(可以用木工的角尺作出)。

在歐幾里得幾何學的限制下,以上三個問題都不可能解決。

  • 只使用直尺和圓規,作正五邊形
  • 只使用直尺和圓規,作正六邊形
  • 只使用直尺和圓規,作正七邊形——這個看上去非常簡單的題目,曾經使許多著名數學家都束手無策,而現在正七邊形已被證明是不能由尺規作出的。
  • 只使用直尺和圓規,作正九邊形,此圖也不能作出來,因為單用直尺和圓規,是不足以把一個角分成三等份的。
  • 問題的解決:高斯大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法,並給出了可用尺規作圖的正多邊形的充分條件:尺規作圖正多邊形的邊數目必須是2的非負整數次方乘以任意個(可為0個)不同的費馬素數的積,解決了兩千年來懸而未決的難題。
  • 1832年,Richelot與Schwendewein給出正257邊形的尺規作法。
  • 1900年左右,約翰·古斯塔夫·愛馬仕花費十年的功夫用尺規作圖作出正65537邊形,他的手稿裝滿一大皮箱,可以說是最複雜的尺規作圖。

這道題只准許使用圓規,要求參與者將一個已知圓心的圓周4等分。這道題傳言是拿破崙·波拿巴擬出,向全法國數學家挑戰的。這道題已被證明有解。

延伸

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圓規作圖

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  • 1672年,喬治·莫爾(Georg Mohr)證明:如果把「作直線」解釋為「作出直線上的2點」,那麼凡是尺規能作的,單用圓規也能作出,拿破崙問題就是一個例子。

直尺作圖

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  • 只用直尺所能作的圖其實不多,但在已知一個圓和其圓心的情況下,那麼凡是尺規能作的,單用直尺也能作出。

生鏽圓規(即半徑固定的圓規)作圖

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  • 生鏽圓規作圖,已知兩點,找出一點使得
  • 已知兩點,只用半徑固定的圓規,求作使是線段的中點。
  • 尺規作圖,是古希臘人按「盡可能簡單」這個思想出發的,能更簡潔的表達嗎?順着這思路就有了更簡潔的表達。
    • 10世紀時,有數學家提出用直尺和半徑固定的圓規作圖。
  • 從給定的兩點出發時,生鏽圓規作圖完全等價於尺規作圖。
  • 但是,「從給定的兩點出發」這一條件必不可少,在有多個已知點的條件下,鏽規作圖的能力還有待研究。
  • 將條件放寬,允許使用有刻度的直尺,可以三等分角或做出正七邊形等一般尺規做圖所做不到的事。

允許使用長度等於1的線段

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  • 已知兩條線段AB、AC,可以作出一條線段的長度等於兩條線段長度之乘積AB×AC。

外部連結

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尺規作圖的程式

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