在雙縫實驗 裏,從光源
a
{\displaystyle \mathrm {a} }
傳播出來的相干光子束 ,照射在一塊刻有兩條狹縫
b
{\displaystyle \mathrm {b} }
和
c
{\displaystyle \mathrm {c} }
的不透明擋板
S
2
{\displaystyle \mathrm {S2} }
。在擋板的後面,擺設了攝影膠捲或某種偵測屏
F
{\displaystyle \mathrm {F} }
,用來紀錄到達
F
{\displaystyle \mathrm {F} }
的任何位置
d
{\displaystyle \mathrm {d} }
的光子數據。最右邊黑白相間的條紋,顯示出光子在偵測屏
F
{\displaystyle \mathrm {F} }
的干涉圖樣。
在量子力學 裏,態疊加 原理 (superposition principle)表明,假若一個量子系統的量子態 可以是幾種不同量子態中的任意一種,則它們的歸一化 線性組合 也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態 」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交 ,則這量子系統處於其中任意量子態的機率 是對應權值 的絕對值平方。[ 1] :316ff
從數學 表述,態疊加原理是薛丁格方程式 的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式 ,任意幾個解的線性組合 也是解。這些形成線性組合(稱為「疊加態」)的解時常會被設定為相互正交(稱為「基底態 」),例如氫原子 的電子 能級態 ;換句話說,這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣,對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值 ,是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值,乘以疊加態處於對應基底態的機率之後,所有乘積的總和。
更具體地說明,假設對於某量子系統測量可觀察量
A
{\displaystyle A}
,而可觀察量
A
{\displaystyle A}
的本徵態
|
a
1
⟩
{\displaystyle |a_{1}\rangle }
、
|
a
2
⟩
{\displaystyle |a_{2}\rangle }
分別擁有本徵值
a
1
{\displaystyle a_{1}}
、
a
2
{\displaystyle a_{2}}
,則根據薛定諤方程 的線性關係 ,疊加態
|
ψ
⟩
=
c
1
|
a
1
⟩
+
c
2
|
a
2
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle }
也可以是這量子系統的量子態;其中,
c
1
{\displaystyle c_{1}}
、
c
2
{\displaystyle c_{2}}
分別為疊加態處於本徵態
|
a
1
⟩
{\displaystyle |a_{1}\rangle }
、
|
a
2
⟩
{\displaystyle |a_{2}\rangle }
的機率幅 。假設對這疊加態系統測量可觀察量
A
{\displaystyle A}
,則測量獲得數值是
a
1
{\displaystyle a_{1}}
或
a
2
{\displaystyle a_{2}}
的機率分別為
|
c
1
|
2
{\displaystyle |c_{1}|^{2}}
、
|
c
2
|
2
{\displaystyle |c_{2}|^{2}}
,期望值 為
⟨
ψ
|
A
|
ψ
⟩
=
|
c
1
|
2
a
1
+
|
c
2
|
2
a
2
{\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}}
。
舉一個可直接觀察到量子疊加的實例,在雙縫實驗 裏,可以觀察到通過兩條狹縫的光子 相互干涉 ,造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋,這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。
再舉一個案例,在量子運算 裏,量子位元 是的兩個基底態
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
與
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
的線性疊加。這兩個基底態
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
、
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
的本徵值分別為
0
{\displaystyle 0}
、
1
{\displaystyle 1}
。
在數學裏,疊加原理 表明,線性方程式 的任意幾個解所組成的線性組合 也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式,疊加原理也適用於量子力學,在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是
|
f
1
⟩
{\displaystyle |f_{1}\rangle }
或
|
f
2
⟩
{\displaystyle |f_{2}\rangle }
,這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合
|
f
⟩
=
c
1
|
f
1
⟩
+
c
2
|
f
2
⟩
{\displaystyle |f\rangle =c_{1}|f_{1}\rangle +c_{2}|f_{2}\rangle }
,也滿足同樣的薛丁格方程式;其中,
c
1
{\displaystyle c_{1}}
、
c
2
{\displaystyle c_{2}}
是複值係數,為了歸一化
|
f
⟩
{\displaystyle |f\rangle }
,必須讓
|
c
1
|
2
+
|
c
2
|
2
=
1
{\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}
。
假設
θ
{\displaystyle \theta }
為實數,則雖然
e
i
θ
|
f
2
⟩
{\displaystyle e^{i\theta }|f_{2}\rangle }
與
|
f
2
⟩
{\displaystyle |f_{2}\rangle }
標記同樣的量子態,他們並無法相互替換。例如,
|
f
1
⟩
+
|
f
2
⟩
{\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle }
、
|
f
1
⟩
+
e
i
θ
|
f
2
⟩
{\displaystyle |f_{1}\rangle +e^{i\theta }|f_{2}\rangle }
分別標記兩種不同的量子態。但是,
|
f
1
⟩
+
|
f
2
⟩
{\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle }
和
e
i
θ
(
|
f
1
⟩
+
|
f
2
⟩
)
{\displaystyle e^{i\theta }(|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle )}
都標記同一個量子態。因此可以這樣說,整體的相位因子 並不具有物理意義,但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。[ 1] :317
設想自旋 為
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
的電子 ,它擁有兩種相互正交的自旋本徵態,上旋態
|
↑
⟩
{\displaystyle |\uparrow \rangle }
與下旋態
|
↓
⟩
{\displaystyle |\downarrow \rangle }
,它們的量子疊加可以用來表示量子位元 :
|
ψ
⟩
=
c
↑
|
↑
⟩
+
c
↓
|
↓
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =c_{\uparrow }|\uparrow \rangle +c_{\downarrow }|\downarrow \rangle }
;
其中,
c
↑
{\displaystyle c_{\uparrow }}
、
c
↓
{\displaystyle c_{\downarrow }}
分別是複值係數,為了歸一化
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
,必須讓
|
c
↑
|
2
+
|
c
↓
|
2
=
1
{\displaystyle |c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1}
。
這是最一般的量子態。係數
c
↑
{\displaystyle c_{\uparrow }}
、
c
↓
{\displaystyle c_{\downarrow }}
分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率:
p
↑
=
|
c
↑
|
2
{\displaystyle p_{\uparrow }=|c_{\uparrow }|^{2}}
、
p
↓
=
|
c
↓
|
2
{\displaystyle p_{\downarrow }=|c_{\downarrow }|^{2}}
。
總機率應該等於1:
p
=
p
↑
+
p
↓
=
|
c
↑
|
2
+
|
c
↓
|
2
=
1
{\displaystyle p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1}
。
這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態:
|
ψ
⟩
=
3
i
5
|
↑
⟩
+
4
5
|
↓
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle ={3i \over 5}|\uparrow \rangle +{4 \over 5}|\downarrow \rangle }
。
電子處於上旋態或下旋態的機率分別為
p
↑
=
|
3
i
5
|
2
=
9
25
{\displaystyle p_{\uparrow }=\left|\;{\frac {3i}{5}}\;\right|^{2}={\frac {9}{25}}}
、
p
↓
=
|
4
5
|
2
=
16
25
{\displaystyle p_{\downarrow }=\left|\;{\frac {4}{5}}\;\right|^{2}={\frac {16}{25}}}
。
再次注意到總機率應該等於1:
p
=
9
25
+
16
25
=
1
{\displaystyle p={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1}
。
描述一個非相對論 性自由粒子的含時薛丁格方程式 為[ 1] :331-336
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
;
其中,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是約化普朗克常數 ,
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
是粒子的波函數 ,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
是粒子的位置,
t
{\displaystyle t}
是時間。
這薛丁格方程式有一個平面波 解:
Ψ
(
r
,
t
)
=
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}
;
其中,
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
是波向量 ,
ω
{\displaystyle \omega }
是角頻率 。
代入薛丁格方程,這兩個變數必須遵守關係式
ℏ
2
k
2
2
m
=
ℏ
ω
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }
。
由於粒子存在的機率 等於1,波函數
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
必須歸一化 ,才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言,這不是問題。因為,自由粒子的波函數,在位置或動量方面,都是局部性的。在量子力學 裏,一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加 :
Ψ
(
r
,
t
)
=
1
(
2
π
)
3
/
2
∫
K
A
(
k
)
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
d
k
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} }
;
其中,積分區域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
是
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
-空間。
為了方便計算,只思考一維空間,
Ψ
(
x
,
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
A
(
k
)
e
i
(
k
x
−
ω
(
k
)
t
)
d
k
{\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k}
;
其中,振幅
A
(
k
)
{\displaystyle A(k)}
是量子疊加的係數函數。
逆反過來,係數函數表示為
A
(
k
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
Ψ
(
x
,
0
)
e
−
i
k
x
d
x
{\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x}
;
其中,
Ψ
(
x
,
0
)
{\displaystyle \Psi (x,0)}
是在時間
t
=
0
{\displaystyle t=0}
的波函數。
所以,知道在時間
t
=
0
{\displaystyle t=0}
的波函數
Ψ
(
x
,
0
)
{\displaystyle \Psi (x,0)}
,通過傅立葉變換 ,可以推導出在任何時間的波函數
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
。
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