拉普拉斯變換 （英語：Laplace transform ）是應用數學 中常用的一種積分變換 ，又名拉氏轉換 ，其符號為
L
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
線性變換 ，可將一個有實數變量
t
(
t
≥
0
)
{\displaystyle t(t\geq 0)}
s
{\displaystyle s}
F
(
s
)
=
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
.
{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t.}
拉氏變換在大部份的應用中都是對射 的，最常見的
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 （Pierre-Simon marquis de Laplace ），他在機率論 的研究中首先引入了拉氏變換。
拉氏變換和傅里葉變換 有關，不過傅里葉變換將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加，而拉氏變換則是將一個函數表示為許多矩 的疊加。拉氏變換常用來求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來分析線性非時變系統 ，可用來分析電子電路 、諧振子 、光學儀器 及機械設備。在這些分析中，拉氏變換可以作時域 和頻域 之間的轉換，在時域中輸入和輸出都是時間的函數，在頻域中輸入和輸出則是複變 角頻率 的函數，單位是弧度 每秒。
對於一個簡單的系統，拉氏變換提供另一種系統的描述方程，可以簡化分析系統行為的時間[ 1] 捲積 會變成頻域下的乘法。
對於所有實數
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
F
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t}
其中頻率參數
s
{\displaystyle s}
複數 ：
s
=
σ
+
i
ω
,
{\displaystyle s=\sigma +i\omega ,\,}
σ
{\displaystyle \sigma }
ω
{\displaystyle \omega }
除了
F
{\displaystyle F}
L
f
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}f}
L
t
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}_{t}\left\{f(t)\right\}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
運算符號 。
這個積分的具體含義取決於被積函數的類型。它存在的一個必要條件是在
f
{\displaystyle f}
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
局部可積 。對於在無窮大處衰減的局部可積函數或指數型 函數，這積分可以被理解成（恰當）勒貝格積分 。然而，在很多應用中，我們有必要將其視作在
∞
{\displaystyle \infty }
條件收斂 的反常積分 。更一般的，這個積分可以在較弱的意義 上理解，在下面會去處理。
可以用勒貝格積分 定義拉普拉斯變換為一個有限博雷爾測度
μ
{\displaystyle \mu }
[ 2]
L
{
μ
}
(
s
)
=
∫
[
0
,
∞
)
e
−
s
t
d
μ
(
t
)
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,\mathrm {d} \mu (t).}
以上定義的一個特殊情況是
μ
{\displaystyle \mu }
概率測度 ，或者更具體地說，是狄拉克δ函數 時。在運算微積分 中，拉普拉斯變換的測度常常被視作由分布函數
f
{\displaystyle f}
L
{
f
}
(
s
)
=
∫
0
−
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t,}
其中積分下限
0
−
{\displaystyle 0^{-}}
lim
ε
→
0
∫
−
ε
∞
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }}
的簡化符號。
這個極限強調任何位於 0 的質點都被拉普拉斯變換完全捕獲。雖然在使用勒貝格積分 時，我們沒有必要取這個極限，但它讓我們更自然地與拉普拉斯–斯蒂爾吉斯變換
更廣義地，對於定義於整個實數軸上的實值函數或複值函數
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
雙邊拉普拉斯轉換 為
B
{
f
}
(
s
)
=
∫
−
∞
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f\right\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t}
兩個相異的可積函數，只有在其差的勒貝格測度 為零時，才會有相同的拉普拉斯變換。因此以轉換的角度而言，存在其反轉換。包括可積分函數在內，拉普拉斯變換是單射 映射，將一個函數空間映射到其他的函數空間。典型的函數空間包括有界連續函數、函數空間L∞ (0, ∞) 、或是更廣義，在 (0, ∞) 區間內的緩增廣義函數（函數的最壞情形是多項式成長）。
拉普拉斯逆變換 有許多不同的名稱，如維奇積分 、傅立葉-梅林積分 、梅林逆公式 ，是一個複數 積分：
f
(
t
)
=
L
−
1
{
F
}
(
t
)
=
1
2
π
i
lim
T
→
∞
∫
γ
−
i
T
γ
+
i
T
e
s
t
F
(
s
)
d
s
{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,\mathrm {d} s}
其中
γ
{\displaystyle \gamma }
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
Post反演公式
在實務上一般會配合查表，將函數的拉普拉斯變換分換為許多已知函數的拉普拉斯變換，再利用觀察的方式產生其拉普拉斯逆變換。在微分方程中會用到拉普拉斯逆變換，會比用傅利葉轉換的處理方式要簡單。
函數
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
G
(
s
)
{\displaystyle G(s)}
f
(
t
)
=
L
−
1
{
F
(
s
)
}
g
(
t
)
=
L
−
1
{
G
(
s
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}\end{aligned}}}
下面的表格是一系列單邊拉普拉斯變換的性質：[ 3]
單邊拉普拉斯變換的性質
時域
s域
注釋
線性 疊加
a
f
(
t
)
+
b
g
(
t
)
{\displaystyle af(t)+bg(t)\ }
a
F
(
s
)
+
b
G
(
s
)
{\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }
可以用積分的基本規則證明。
s域一階微分
t
f
(
t
)
{\displaystyle tf(t)\ }
−
F
′
(
s
)
{\displaystyle -F'(s)\ }
F
′
{\displaystyle F'}
F
{\displaystyle F}
導數 。
s域一般微分
t
n
f
(
t
)
{\displaystyle t^{n}f(t)\ }
(
−
1
)
n
F
(
n
)
(
s
)
{\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }
更一般的形式是
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
n
{\displaystyle n}
時域一階微分
f
′
(
t
)
{\displaystyle f'(t)\ }
s
F
(
s
)
−
f
(
0
)
{\displaystyle sF(s)-f(0)\ }
f
{\displaystyle f}
可微函數 ，並且其導數為指數類型 。這條性質可以通過分部積分 得到。
時域二階微分
f
″
(
t
)
{\displaystyle f''(t)\ }
s
2
F
(
s
)
−
s
f
(
0
)
−
f
′
(
0
)
{\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\ }
f
{\displaystyle f}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
時域一般微分
f
(
n
)
(
t
)
{\displaystyle f^{(n)}(t)\ }
s
n
F
(
s
)
−
∑
k
=
1
n
s
k
−
1
f
(
n
−
k
)
(
0
)
{\displaystyle s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{k-1}f^{(n-k)}(0)\ }
f
{\displaystyle f}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
數學歸納法 證明。
s域積分
1
t
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ }
∫
s
∞
F
(
σ
)
d
σ
{\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma \ }
這是由s域微分和條件收斂推導出來的。
時域積分
∫
0
t
f
(
τ
)
d
τ
=
(
u
∗
f
)
(
t
)
{\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau =(u*f)(t)}
1
s
F
(
s
)
{\displaystyle {1 \over s}F(s)}
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
階躍函數 ，注意到
(
u
∗
f
)
(
t
)
{\displaystyle (u*f)(t)}
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
卷積 。
時間標度
f
(
a
t
)
{\displaystyle f(at)}
1
a
F
(
s
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)}
a
>
0
{\displaystyle a>0\ }
s域平移
e
a
t
f
(
t
)
{\displaystyle e^{at}f(t)\ }
F
(
s
−
a
)
{\displaystyle F(s-a)\ }
時域平移
f
(
t
−
a
)
u
(
t
−
a
)
{\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ }
e
−
a
s
F
(
s
)
{\displaystyle e^{-as}F(s)\ }
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
階躍函數
乘法
f
(
t
)
g
(
t
)
{\displaystyle f(t)g(t)}
1
2
π
i
lim
T
→
∞
∫
c
−
i
T
c
+
i
T
F
(
σ
)
G
(
s
−
σ
)
d
σ
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,\mathrm {d} \sigma \ }
積分沿完全處在
F
{\displaystyle F}
R
e
(
σ
)
=
c
{\displaystyle Re(\sigma )=c}
[ 4]
卷積
(
f
∗
g
)
(
t
)
=
∫
0
t
f
(
τ
)
g
(
t
−
τ
)
d
τ
{\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }
F
(
s
)
⋅
G
(
s
)
{\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }
復共軛
f
∗
(
t
)
{\displaystyle f^{*}(t)}
F
∗
(
s
∗
)
{\displaystyle F^{*}(s^{*})}
互相關
f
(
t
)
⋆
g
(
t
)
{\displaystyle f(t)\star g(t)}
F
∗
(
−
s
∗
)
⋅
G
(
s
)
{\displaystyle F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)}
周期函數
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
1
1
−
e
−
T
s
∫
0
T
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
周期 為
T
{\displaystyle T}
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
f
(
t
)
=
f
(
t
+
T
)
{\displaystyle f(t)=f(t+T)}
幾何級數 的結果。
f
(
0
+
)
=
lim
s
→
∞
s
F
(
s
)
{\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}
F
(
s
)
{\displaystyle {F(s)}}
多項式除法 將
F
(
s
)
{\displaystyle {F(s)}}
f
(
∞
)
=
lim
s
→
0
s
F
(
s
)
{\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}
s
F
(
s
)
{\displaystyle sF(s)}
複平面 或原點為單極點。由於終值定理無需經過部分分式 分解或其他困難的代數就能給出長期的行為，它就很有用。如果
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
f
(
t
)
=
e
t
{\displaystyle f(t)=e^{t}}
f
(
t
)
=
sin
(
t
)
{\displaystyle f(t)=\sin(t)}
拉普拉斯變換可以看成是冪級數的一個連續 模擬。如果 a (n ) 是正整數 n 的一個離散函數，那麼與 a (n ) 相關的冪級數為
∑
n
=
0
∞
a
(
n
)
x
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}
其中 x 是實變量（參見Z變換 ）。將對 n 的加和替換成對 t 的積分，則此冪級數的連續形式為
∫
0
∞
f
(
t
)
x
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,\mathrm {d} t}
其中離散型函數 a (n ) 被替換成連續型的 f (t )。（參見下文梅林變換 。）改變冪的基底 x 為 e 得
∫
0
∞
f
(
t
)
(
e
log
x
)
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\log {x}}\right)^{t}\,\mathrm {d} t}
要使這個積分對任何有界函數 f 都收斂，就需要滿足
log
x
<
0
{\displaystyle \log {x}<0}
−s = log x
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}
換句話說，拉普拉斯變換是冪級數的一個連續模擬，只是把離散參數 n 換成了連續變量 t ， x 換成了 e −s
函數 f 的矩 為
μ
n
=
∫
0
∞
t
n
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,\mathrm {d} t}
如果 f 的前 n 階矩絕對收斂，則通過反覆在積分符號內取微分 ，就得到
(
−
1
)
n
(
L
f
)
(
n
)
(
0
)
=
μ
n
{\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}}
X 的矩是
μ
n
=
E
[
X
n
]
{\displaystyle \mu _{n}=E[X^{n}]}
μ
n
=
(
−
1
)
n
d
n
d
s
n
E
[
e
−
s
X
]
.
{\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}E\left[e^{-sX}\right].}
很方便用拉普拉斯變換的微分性質來求函數導數的變換。從拉普拉斯變換的基本表達式就可以推導如下：
L
{
f
(
t
)
}
=
∫
0
−
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
=
[
f
(
t
)
e
−
s
t
−
s
]
0
−
∞
−
∫
0
−
∞
e
−
s
t
−
s
f
′
(
t
)
d
t
(by parts)
=
[
−
f
(
0
−
)
−
s
]
+
1
s
L
{
f
′
(
t
)
}
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t\\&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,\mathrm {d} t\quad {\text{(by parts)}}\\&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}
導出
L
{
f
′
(
t
)
}
=
s
⋅
L
{
f
(
t
)
}
−
f
(
0
−
)
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0^{-}),}
而在雙邊的情形下，
L
{
f
′
(
t
)
}
=
s
∫
−
∞
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
=
s
⋅
L
{
f
(
t
)
}
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{f'(t)}\right\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}
一般化的結果是
L
{
f
(
n
)
(
t
)
}
=
s
n
⋅
L
{
f
(
t
)
}
−
s
n
−
1
f
(
0
−
)
−
⋯
−
f
(
n
−
1
)
(
0
−
)
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}
其中 f (n ) 表示 f 的 n 階導數，可以由歸納 假設得出。
令
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}
L
{
f
(
t
)
t
}
=
∫
s
∞
F
(
p
)
d
p
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,\mathrm {d} p,}
或
∫
0
∞
f
(
t
)
t
e
−
s
t
d
t
=
∫
s
∞
F
(
p
)
d
p
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,\mathrm {d} t=\int _{s}^{\infty }F(p)\,\mathrm {d} p.}
令 s → 0，假定可以改變取極限順序，就得到性質
∫
0
∞
f
(
t
)
t
d
t
=
∫
0
∞
F
(
p
)
d
p
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }F(p)\,\mathrm {d} p.}
即便在不可以交換，此計算依然有暗示性。例如，形式上按此計算得到
∫
0
∞
cos
a
t
−
cos
b
t
t
d
t
=
∫
0
∞
(
p
p
2
+
a
2
−
p
p
2
+
b
2
)
d
p
=
1
2
ln
p
2
+
a
2
p
2
+
b
2
|
0
∞
=
ln
b
−
ln
a
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos at-\cos bt}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,\mathrm {d} p={\frac {1}{2}}\left.\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right|_{0}^{\infty }=\ln b-\ln a.}
這個性質的正確性可以用其他方法證明。它是傅汝蘭尼積分（Frullani integral）的一個例子。
例子還有狄利克雷積分 。
連續傅里葉變換相當於計算令
s
=
ı
ω
{\displaystyle s=\imath \omega }
s
=
2
π
f
ı
{\displaystyle s=2\pi f\imath }
f
^
(
ω
)
=
F
{
f
(
t
)
}
=
L
{
f
(
t
)
}
|
s
=
i
ω
=
F
(
s
)
|
s
=
i
ω
=
∫
−
∞
∞
e
−
ı
ω
t
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}\\[1em]&={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[1em]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.\\\end{aligned}}}
z 變換表達式為：
X
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
x
[
n
]
z
−
n
{\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}
其中
z
←
e
s
T
{\displaystyle z\leftarrow e^{sT}\ }
X
q
(
s
)
=
X
(
z
)
|
z
=
e
s
T
.
{\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}
下表提供了許多常用單變量函數的拉普拉斯變換。 [ 5] [ 6]
由於拉普拉斯變換是一個線性算子：
L
{
f
(
t
)
+
g
(
t
)
}
=
L
{
f
(
t
)
}
+
L
{
g
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}
一個函數的常數倍拉普拉斯變換等於其拉普拉斯變換的常數倍。
L
{
a
f
(
t
)
}
=
a
L
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
使用這個線性性質 ，以及各種三角 、雙曲 、和複數 （等）的性質，可以從其他拉普拉斯變換得到一些拉普拉斯變換，這會比直接通過使用定義更快。
單邊拉普拉斯變換取時域為非負實數的函數作為輸入，這就是下表中所有時域函數都乘以單位階躍函數 u(t ) 的原因。表中涉及時間延遲 τ 的條目必須是因果 的 （即 τ > 0）。因果系統是 t = 0 之前的衝激響應 h (t ) 都為零的一個系統。在一般情況下，因果系統的收斂區域和反因果系統是不相同的。
拉普拉斯變換在物理學和工程中是常用的；線性時不變系統的輸出可以通過卷積單位脈衝響應與輸入信號來計算，而在拉氏空間中執行此計算將卷積通過轉換成乘法來計算。後者是更容易解決，由於它的代數形式。
拉普拉斯變換也可以用來解決微分方程，這被廣泛應用於電氣工程。拉普拉斯變換把線性差分方程化簡為代數方程，這樣就可以通過代數規則來解決。原來的微分方程可以通過施加逆拉普拉斯變換得到其解。英國電氣工程師奧利弗·黑維塞 第一次提出了一個類似的計劃，雖然沒有使用拉普拉斯變換；以及由此產生的演算被譽為黑維塞演算。
應用拉普拉斯 變換解常變量齊次微分方程 ，可以將微分方程化為代數方程 ，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在於：將一個信號從時域上，轉換為復頻域（s域）上來表示，對於分析系統特性 ，系統穩定 有着重大意義；在線性系統 ，控制 自動化 上都有廣泛的應用。
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![{\displaystyle \mu _{n}=E[X^{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6a2571134657fa946ba1079dfcda66c521cbd5)
![{\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}E\left[e^{-sX}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14dddd9d0d7ed6f99336d8b210432a7bde98ba5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t\\&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,\mathrm {d} t\quad {\text{(by parts)}}\\&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a56ba46c739dc0c631bc51748f1a992d1508eb8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}\\[1em]&={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[1em]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5895ba4634696d409dd1b7131df86b64fe61d0)
![{\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf7e6d1a9bf26a3017c79040c80295cb1f2eaa1)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4345a4c33a88daeb8ec5a3002d02d62f66ff3fb)
![{\displaystyle -{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443e300447c3c06d1a0fe2dd051073dba815ee08)
