等勢

在數學領域中，兩個集合是等勢的（英語：equinumerous）意為它們之間存在一個雙射。這種性質經常叫做等勢性(equinumerosity)。英文中也會用術語 equipotent 或 equipollent 來表示等勢。

定義

定義 — $A$ 和 $B$ 是二集合，若 $f$ 滿足

• $(\forall a\in A)(\exists !b)\{(b\in B)\wedge [(a,\,b)\in f]\}$ （$f$ 是$A$ 和 $B$ 間的函數）
• $(\forall b\in B)(\exists a\in A)[(a,\,b)\in f]$ （每個 $b\in B$ 都可以用 $f$ 的規則對到某 $a\in A$）
• $(\forall a_{1}\in A)(\forall a_{2}\in A)(\forall b\in B)\{[(a_{1},\,b),\,(a_{2},\,b)\in f]\Rightarrow (a_{1}=a_{2})\}$ （$a_{1},\,a_{2}\in A$ 都對到 $b\in B$ 則兩者相等 ）

此時用以下符號簡記：

$A\,{\overset {f}{\cong }}\,B$

更進一步的，可以定義：

$A\cong B:=(\exists f)\left[A\,{\overset {f}{\cong }}\,B\right]$

並可簡稱為$A$ 和 $B$ 是等勢的。

$A\,{\overset {f}{\cong }}\,B$ 直觀上來說，就是任意 $b\in B$ 都可以透過函數 $f$ 的規則，被唯一的一個 $a\in A$ 對應。而所謂的等勢，就是$A$ 和 $B$ 間存在這樣的一對一且不遺漏的對應關係。

範例

設$E=\left\{2n|n\in \mathbb {N} \right\}$是全體偶數的集合，那麼，它與自然數集$\mathbb {N}$是等勢的； 有理數$\mathbb {Q}$與自然數$\mathbb {N}$是等勢的（所有有理數與自然數是「一樣多」的）； 然而，無理數$\mathbb {R} -\mathbb {Q}$與自然數$\mathbb {N}$或有理數$\mathbb {Q}$都不等勢（無理數比有理數「個數多」）。

性質

• 兩個有限集是等勢的，當且僅當它們的元素個數相等。
• 等勢可構成一個等價關係。

範疇論的等勢

在集合範疇中，帶有函數作為態射的所有集合的範疇，在兩個集合之間的同構正好是一個雙射，而兩個集合正好是等勢的，如果它們在這個範疇中是同構的。

參見

• 集合範疇
• 基數 (數學)
• 雙射