群上同調

在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。

起源

群論中的指導思想之一，是研究群 $G$ 及其表示的關係。群 $G$ 的表示是 $G$-模的特例：一個 $G$-模是一個阿貝爾群 $M$ 配上 $G$ 在 $M$ 上的群作用 $G\to \mathrm {End} (M)$。等價的說法是：$M$ 是群環 $\mathbb {Z} [G]$ 上的模。通常將 $G$ 的作用寫成乘法 $m\mapsto gm$。全體 $G$-模自然地構成一個阿貝爾範疇。

對給定的 $G$-模 $M$，最重要的子群之一是其 $G$-不變子群

$M^{G}=\lbrace x\in M:\forall g\in G\ gx=x\rbrace .$

若 $N\subset M$ 是一個 $G$-子模（即：是 $M$ 的子群，且在 $G$ 的作用下不變），則 $M/N$ 上賦有自然的 $G$-模結構，$N^{G}\subset M^{G}$，但是未必有 $(M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}$。第一個群上同調群 $H^{1}(G,N)$ 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言，可以定義一族函子 $H^{n}(G,-)$，其間關係可以由長正合序列表示。

形式建構

以下假設 $G$ 為有限群，全體 $G$-模構成阿貝爾範疇，其間的態射 $\mathrm {Hom} _{G}(M,N)$ 定義為滿足 $f(gx)=gf(x)$ 的群同態 $f:M\to N$。由於此範疇等價於 $\mathbb {Z} [G]$-模範疇，故有充足的內射對象。

函子 $M\to M^{G}$ 是從 $G$-模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 $H^{n}(G,M)$ 為其導函子。根據導函子的一般理論，可知：

• $H^{0}(G,M)=M^{G}$
• 長正合序列：若 $0\to M'\to M\to M''\to 0$ 為 $G$-模的短正合序列，則導出相應的長正合序列

$\cdots \to H^{i-1}(G,M'')\to H^{i}(G,M')\to H^{i}(G,M)\to H^{i}(G,M'')\to H^{i+1}(M')\to H^{i+1}(M)\to \cdots$

在上述定義中，若固定一個域 $k$，並以 $k[G]$ 代替 $\mathbb {Z} [G]$，得到的上同調群依然同構。

標準分解

導出函子的定義來自內射分解，不便於具體計算。然而注意到 $M^{G}=\mathrm {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)$，其中 $\mathbb {Z}$ 被賦予平凡的 $G$ 作用：$gx=x$，故群上同調可以用Ext函子表達為

$H^{i}(G,M)=\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)$

另一方面，$G$-模範疇中也有充足的射影對象，若取一 $\mathbb {Z}$ 的射影分解 $0\leftarrow \mathbb {Z} \leftarrow P_{\bullet }$，則有自然的同構 $\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)\simeq H^{i}(\mathrm {Hom} (P_{\bullet },M))$。最自然的分解是標準分解

$L_{i}:=\sum _{(g_{0},\ldots ,g_{i})\in G}\mathbb {Z} (g_{0},\ldots ,g_{i})$

$g(g_{0},\ldots ,g_{i})=(gg_{0},\ldots ,gg_{i})$

$d(g_{0},\ldots ,g_{i})=\sum _{j=0}^{i}(g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{j},\ldots ,g_{i})$

而 $L_{0}\to \mathbb {Z}$ 由 $g_{0}\mapsto 1$ 給出。

定義 $K^{i}:=\mathrm {Hom} _{G}(L_{i},M)$，其元素為形如 $f:G^{i+1}\mapsto M$ 的函數，並滿足 $f(gg_{0},\ldots ,gg_{i})=gf(g_{0},\ldots ,g_{i})$，稱之為齊次上鏈。根據 $G$ 在 $L_{i}$ 上的作用，這種 $f$ 由它在形如 $(e,g_{1},g_{1}g_{2},\ldots ,g_{1}\ldots ,g_{i})$ 的元素上的取值確定。藉此，可將上鏈複形 $K^{i}$ 描述為

• $K^{i}$ 的元素為 $G^{i}\to M$ 之函數。
• $(df)(g_{1},\ldots ,g_{i+1})=g_{1}f(g_{2},\ldots ,g_{i+1})+\sum _{j=1}^{i}(-1)^{j}f(g_{1},\ldots ,g_{j}g_{j+1},\ldots ,g_{i+1})+(-1)^{i+1}f(g_{1},\ldots ,g_{i})$

其中的元素稱為非齊次上鏈。

綜上所述，得到 $H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)$。

例子

較常用的上同調是 $H^{1}$ 與 $H^{2}$。從標準分解可導出以下的描述：

$H^{1}(G,M)={\dfrac {\{f:G\to M|\forall g,g',\;f(gg')=gf(g')+f(g)\}}{\{f:G\to M:\exists m\,\forall g,\;f(g)=gm-m\}}}$

準此要領，亦有

$H^{2}(G,M)={\dfrac {\{f:G^{2}\to M|gf(g',g'')-f(gg',g'')+f(g,g'g'')-f(g,g')=0\}}{\{f:G^{2}\to M:\exists h:G\to M,f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g)\}}}$

群同調

上述理論有一對偶版本：對於任一 $G$-模 $M$，定義 $DM$ 為形如 $gm-m$ 的元素生成之子模。考慮從 $G$-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子

$M\to M_{G}:=M/DM=\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M$

這是一個右正合函子，其導出函子稱為為群同調 $H_{n}(G,M)$。群同調可以藉Tor函子描述為

$H_{i}(G,M)\simeq \mathrm {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)$

對於有限群，群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

非阿貝爾群上同調

將上述定義中的 $G$-模 $M$ 改成一般的群 $A$（未必交換），並帶有 $G$ 的作用 $a\mapsto g(a)$（稱之為 $G$-群）。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調：

$H^{0}(G,A):=A^{G}=\{a\in A|\forall g\in G,\;g(a)=a\}$

$H^{1}(G,A):={\dfrac {\{a_{s}:G\to A|\forall s,t\in G,\;a_{st}=a_{s}s(a_{t})\}}{\{b_{s}:G\to A|\exists a,b_{s}=a^{-1}s(a)\}}}$

須留意 $H^{0}(G,A),H^{1}(G,A)$ 並不是群，而是帶有一個指定元素的集合（來自 $A$ 的單位元素），以下所謂的正合性，都應該在此意義下理解。

若 $1\to A\to B\to C\to 1$ 是 $G$-群的短正合序列，則有長正合序列

$1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C)$

若 $A$落在 $B$ 的中心，此序列右端可再加一項 $H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)$。

性質

Res 與 Cor

若 $f:H\to G$ 為群同態，則可將任一 $G$-模透過 $f$ 視為 $H$-模，此運算導出上同調之間的映射

$H^{\bullet }(G,M)\to H^{\bullet }(H,M)$

此映射與群上同調的長正合序列相容。當 $H$ 是 $G$ 的子群而 $f$ 是包含映射，導出的映射稱為限制映射，記為 Res。

由於我們假設 $G$ 為有限群，必有 $(G:H)<\infty$，此時映射

$N_{G/H}:M^{H}\to M^{G},\quad N_{G/H}(m):=\sum _{g\in G/H}gm$

導出一個上限制映射 $\mathrm {Cor} :H^{\bullet }(H,M)\to H^{\bullet }(G,M)$。

定理. $\mathrm {Cor} \circ \mathrm {Res} =(G:H)\mathrm {id}$

中心擴張

若 $M$ 是平凡的 $G$ 模（即 $\forall g\in G,\;gm=m$），則 $H^{2}(G,M)$ 中的元素一一對應於 $G$ 對 $M$ 的中心擴張的等價類

$0\to M\to E{\stackrel {p}{\to }}G\to 1$

中心擴張意謂：$0\to M\to E\to G\to 1$ 是群擴張，而且 $M$ 落在 $E$ 的中心內。

具體描述方法是：任取一映射 $s:G\to E,p\circ s=\mathrm {id} _{G}$。$s$ 不一定是群同態，但存在函數 $f:G^{2}\to M$ 使得 $s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')$。$s$ 及 $f$ 刻劃了 $E$ 的群結構。不難驗證 $f\in K^{2}$ 滿足 $df=0$，而 $s$ 的選取對應於 $f\mapsto f+dh,h\in K^{1}$，所以 $f\in H^{2}(G,A)$ 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之，任一 $f\in H^{2}(G,A)$ 都來自於某個中心擴張，證畢。

譜序列

若 $N\subset G$ 是 $G$ 的正規子群，則有下述譜序列

$H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\implies H^{p+q}(G,A).\,$

對於射影有限群，此式依然成立。

參考文獻

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