同調論

數學中，同調論（homology theory）是拓撲空間「圈的同調」之直覺幾何想法的公理化研究。它可以寬泛地定義為研究拓撲空間的同調理論。

簡單解釋

直覺上，同調是取一個等價關係，如果鏈 C - D 是一個高一維鏈的邊界，則鏈 C 與 D 是同調的。最簡單的例子是在圖論中，有 C 和 D 兩組頂點集，考慮到從 P到 Q 的有向邊 E 的邊緣是 Q-P。從 D 到 C 的一些邊的集合，每一個與前一個相連，是一個同調。

一般的，一個 k-鏈視為形式組合

\sum a_{i}d_{i}

其中 $a_{i}$ 是整數而 $d_{i}$ 是 X 上的 k-維單形。這裏的邊緣取一個單形的邊界；它導致一個高維概念，k=1 即類似於圖論情形中的裂項和。這個解釋是1900年的風格，從技術上講有些原始。

以環面為例

例如，若 X 是一個二維環面 T，T 上一個一維圈從直覺來說是 T 中曲線之線性組合，且這些曲線是閉合的（圈條件，等價於沒有邊界）。如果 C 與 D 是以同樣方式繞 T 一周的圈，則我們可清晰地找出 T 上一個定向區域其邊界是 C − D。可以證明整系數 1-圈的同調類構成一個有兩個生成元的自由阿貝爾群，他們是繞此環面的兩種不同方式。

十九世紀

這種層次的理解是十九世紀數學界中的共有性質，源於黎曼曲面的想法。十九世紀末，龐加萊給出了一個更一般但仍基於直覺的背景。

例如，考慮最先由龐加萊於1899年表述的一般斯托克斯定理：它必須涉及一個積分項（現在我們稱為微分形式）和一個積分區域（一個 p-鏈），以及兩類邊緣算子，一個用現代術語是外微分，另一個是鏈上包含了定向的幾何邊緣算子，它可用於同調論。這兩個算子是關於積分是伴隨算子。

二十世紀

粗糙地講，對同調的幾何論證直到二十世紀初才被嚴格的技術取代。起先時代的特色是使用組合拓撲（今日代數拓撲的先驅）。這假設了所處理的空間是單體複形，但最感興趣的空間通常是流形，故人為的三角化被引入了這個工具。始創者們比如所羅門·萊夫謝茨以及馬斯頓·莫爾斯仍更偏好幾何方法。組合觀點使布勞威爾能證明比如單純逼近定理之類的基本結論，基於同調是一個函子的想法。布勞威爾使用這個新工具能證明複分析基礎的若爾當曲線定理，以及區域不變性；並消除了對拓撲論證的懷疑。

代數拓撲學

通常將到「代數」拓撲的轉變歸功於埃米·諾特的影響，她堅持同調類屬於商群——這種觀點是基本的，現在已經作為定義^[1]。事實上從1920年以來諾特與她的學生建立了任何環的模理論，這兩種想法融合形成了系數取值於一個環的同調的概念。在此之前，系數（即鏈是空間上的基本幾何鏈的線性組合的系數）通常是整數、實數或複數，或者有時為模2同餘類。在新的情形下，沒有理由不取模3同餘類，例如：成為一個圈需滿足更複雜的幾何條件，例如圖論中在每個頂點的邊數都是3的倍數。但在代數幾何中，定義沒有任何新問題。萬有系數定理指出整系數同調決定了所以其它同調理論，但利用了張量積；這不是止痛劑，在張量積有導來函子，導致一個一般的表述。

餘調與奇異同調

1930年代是餘調論發展的十年，多個研究方向一起成長，而上面講過在龐加萊工作中不明確的德拉姆餘調成為一個清楚的定理。餘調與同調是對偶理論；同時得知同調論，單純同調，遠非它故事的結束。奇異同調的定義避開了明顯的三角化，其代價是引入無限生成模。

公理化與異常理論

從1940年到1960年，代數拓撲迅速地發展，同調論的角色通常作為基本理論，容易計算，拓撲學家用它去計算其它函子。艾倫伯格與斯廷羅德的同調論公理化（艾倫伯格-斯廷羅德公理）揭示了同調理論的不同候選通常是，粗糙地講，某些正合序列特別是邁耶-菲托里斯序列，以及算出了一個點的同調的維數公理。在拓撲K-理論與配邊理論中導出的（上）同調，在同倫論中成為標準的推廣到異常（上）同調論，中維數公里減弱了。他們對 CW複形範疇容易刻畫。

餘調論列表（英語：List of cohomology theories）

同調論現狀

對更一般（即不那麼良態）的空間，藉助於從層論中的想法得到同調論的許多推廣，特別是局部緊空間的博雷爾-穆爾同調。

同調論的基本鏈複形轉置很久以前就成為了同調代數中獨立的一種技巧，並獨立地應用於例如群餘調。從而在數學中不再只有一個同調論，而是有許多同調和餘調論。

腳註

^ Hilton 1988，第284頁

參考文獻

Hilton, Peter, A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century, Mathematics Magazine, 1988, 60 (5): 282–291 [2009-10-17], （原始內容存檔於2022-03-11）

[1] Hilton 1988，第284頁

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