虛數單位

{\displaystyle i} — 虛數單位 $i$ 在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數

各式各樣的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然數 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小數
 有盡小数
 無盡小数
 循環小數
 有理數 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
實數 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

負數 $\mathbb {R} ^{-}$
整數 $\mathbb {Z}$
負整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整數 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元數
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英語：Dual quaternion）
超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程 $x^{2}+1=0$ 的解。雖然沒有這樣的實數可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位將實數系統 $\mathbb {R}$ 延伸至複數系統 $\mathbb {C}$ 。延伸的主要動機為有很多實系數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式 $x^{2}+1=0$ 就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位標記為 $i$ ，在電機工程和相關領域中則標記為 $j$ ，這是為了避免與電流（記為 $i(t)$ 或 $i$ ）混淆。

定義

$\ldots$
${{i}^{-{3}}}=i$
${{i}^{-{2}}}=-1$
${{i}^{-{1}}}=-i$
${{i}^{0}}=1$
${{i}^{1}}=i$
${{i}^{2}}=-1$
${{i}^{3}}=-i$
${{i}^{4}}=1$
${{i}^{5}}=i$
${{i}^{6}}=-1$
$\ldots$

虛數單位 $i$ 定義為二次方程式 $x^{2}+1=0$ 的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

{{x}^{2}}=-1

。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號 $i$ 。很重要的一點是， $i$ 是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

i={\sqrt {-{1}}}

然而 $i={\sqrt {-{1}}}$ 往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為

-1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1

，但是-1不等於1。

但請注意：

{\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}

成立的條件有

a

,

b

不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設 $i$ 是一個未知數，然後依照 $i$ 的定義，替代任何 $i^{2}$ 的出現為-1。 $i$ 的更高整數冪數也可以替代為 $-i$ ， $1$ ，或 $i$ ，根據下述方程式：

i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i

，

i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1

，

i^{5}=i^{4}i=(1)i=i

。

一般地，有以下的公式：

i^{4n}=1

i^{4n+1}=i

i^{4n+2}=-1

i^{4n+3}=-i

i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}

其中 ${\bmod {4}}$ 表示被4除的餘數。

$i$ 和 $- i$

方程 $x^{2}=-1$ 有兩個不同的解，它們都是有效的，且互為共軛虛數及倒數。更加確切地，一旦固定了方程的一個解 $i$ ，那麼 $-i$ （不等於 $i$ ）也是一個解，由於這個方程是 $i$ 的唯一的定義，因此這個定義表面上有歧義。然而，只要把其中一個解選定，並固定為 $i$ ，那麼實際上是沒有歧義的。這是因為，雖然 $-i$ 和 $i$ 在數量上不是相等的（它們是一對共軛虛數），但是 $i$ 和 $-i$ 之間沒有質量上的區別（-1和+1就不是這樣的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

-i^{2}=1

-i=i^{-1}={\frac {1}{i}}

正當的使用

虛數單位有時記為 ${\sqrt {-1}}$ 。但是，使用這種記法時需要非常謹慎，這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如，公式 ${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$ 僅對於非負的實數 $a$ 和 $b$ 才成立。

假若這個關係在虛數仍成立，則會出現以下情況：

-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1

（不正確）

-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1

（不正確）

{\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i

（不正確）

$i$ 的運算

許多實數的運算都可以推廣到 $i$ ，例如平方根、冪、對數和三角函數。以下運算除第一項外，均為與 $i$ 有關的多值函數，在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

$i$ 的平方根為：

\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)

這是因為：

{\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}

使用主平方根符號表示：

{\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)

其解法為先假設兩實數

x

及

y

，使得

(x+iy)^{2}=i

，求解

x,y

^[1]

一個數的 $ni$ 次冪為：

x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}

一個數的

ni

次方根為：

{\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}

利用歐拉公式

i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}

，

k\in \mathbb {Z}

代入不同的

k

值，可計算出無限多的解。當

k=0

最小的解是

e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx

0.20787957635076...^[2]

以 $i$ 為底的對數為：

\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }

$i$ 的餘弦是一個實數：

\cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx

1.5430806348152...

$i$ 的正弦是純虛數：

\sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx

1.1752011936438...

i

在程式語言

大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
但Lisp的許多實現與方言，如Common Lisp，內建虛數和複數的支持。不少動態語言受其影響，也在語言本身或標準庫中支持虛數和複數，如Python、Ruby。
一些傳統程式語言，如C語言，也從C99開始支持虛數和複數。
在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
Go語言於第 1.0 版就內建虛數和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128^[3]。

註解

^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） URL retrieved March 26, 2007.
^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
^ Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始內容存檔於2022-06-28）.

參見

參考文獻

Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部連結

[1] University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） URL retrieved March 26, 2007.

[2] "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

[3] Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始內容存檔於2022-06-28）.

[1]

[2]

[3]

高斯整數導航
			↑
			$2 i$
		$-1+ i$	$i$	$1+ i$
←	−2	−1	0	1	2	→
		$-1- i$	$- i$	$1- i$
			$-2 i$
			↓

定義

i和-i

正當的使用

i的運算

在程式語言

註解

參見

參考文獻

外部連結

$i$ 和 $- i$

$i$ 的運算