堆排序

堆排序
堆排序
	堆排序算法的演示。首先，将元素进行重排，以符合堆的条件。图中排序过程之前简单地绘出了堆树的结构。
概况
类别	排序算法
数据结构	数组
复杂度
平均时间复杂度
最坏时间复杂度
最优时间复杂度
空间复杂度	total, auxiliary
最佳解	不是
相关变量的定义

堆排序（英语：Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆的性质：即子节点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

概述

若以升序排序说明，把数组转换成最大堆（Max-Heap Heap），这是一种满足最大堆性质（Max-Heap Property）的二叉树：对于除了根之外的每个节点i, A[parent(i)] ≥ A[i]。

重复从最大堆取出数值最大的结点（把根结点和最后一个结点交换，把交换后的最后一个结点移出堆），并让残余的堆维持最大堆性质。

堆节点的访问

通常堆是通过一维数组来实现的。在数组起始位置为0的情形中：

父节点i的左子节点在位置 $(2i+1)$ ;
父节点i的右子节点在位置 $(2i+2)$ ;
子节点i的父节点在位置 $\lfloor (i-1)/2\rfloor$ ;

堆的操作

在堆的数据结构中，堆中的最大值总是位于根节点（在优先队列中使用堆的话堆中的最小值位于根节点）。堆中定义以下几种操作：

最大堆调整（Max Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
建立最大堆（Build Max Heap）：将堆中的所有数据重新排序
堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算

实现示例

C语言

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void swap(int *a, int *b) {
    int temp = *b;
    *b = *a;
    *a = temp;
}

void max_heapify(int arr[], int start, int end) {
    // 建立父節點指標和子節點指標
    int dad = start;
    int son = dad * 2 + 1;
    while (son <= end) { // 若子節點指標在範圍內才做比較
        if (son + 1 <= end && arr[son] < arr[son + 1]) // 先比較兩個子節點大小，選擇最大的
            son++;
        if (arr[dad] > arr[son]) //如果父節點大於子節點代表調整完畢，直接跳出函數
            return;
        else { // 否則交換父子內容再繼續子節點和孫節點比较
            swap(&arr[dad], &arr[son]);
            dad = son;
            son = dad * 2 + 1;
        }
    }
}

void heap_sort(int arr[], int len) {
    int i;
    // 初始化，i從最後一個父節點開始調整
    for (i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
        max_heapify(arr, i, len - 1);
    // 先將第一個元素和已排好元素前一位做交換，再重新調整，直到排序完畢
    for (i = len - 1; i > 0; i--) {
        swap(&arr[0], &arr[i]);
        max_heapify(arr, 0, i - 1);
    }
}

int main() {
    int arr[] = { 3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6 };
    int len = (int) sizeof(arr) / sizeof(*arr);
    heap_sort(arr, len);
    int i;
    for (i = 0; i < len; i++)
        printf("%d ", arr[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

C++

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

void max_heapify(int arr[], int start, int end) {
    // 建立父節點指標和子節點指標
    int dad = start;
    int son = dad * 2 + 1;
    while (son <= end) { // 若子節點指標在範圍內才做比較
        if (son + 1 <= end && arr[son] < arr[son + 1]) // 先比較兩個子節點大小，選擇最大的
            son++;
        if (arr[dad] > arr[son]) // 如果父節點大於子節點代表調整完畢，直接跳出函數
            return;
        else { // 否則交換父子內容再繼續子節點和孫節點比較
            swap(arr[dad], arr[son]);
            dad = son;
            son = dad * 2 + 1;
        }
    }
}

void heap_sort(int arr[], int len) {
    // 初始化，i從最後一個父節點開始調整
    for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
        max_heapify(arr, i, len - 1);
    // 先將第一個元素和已经排好的元素前一位做交換，再從新調整(刚调整的元素之前的元素)，直到排序完畢
    for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
        swap(arr[0], arr[i]);
        max_heapify(arr, 0, i - 1);
    }
}

int main() {
    int arr[] = { 3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6 };
    int len = (int) sizeof(arr) / sizeof(*arr);
    heap_sort(arr, len);
    for (int i = 0; i < len; i++)
        cout << arr[i] << ' ';
    cout << endl;
    return 0;
}

Java

import java.util.Arrays;

public class HeapSort {
    private int[] arr;
    public HeapSort(int[] arr) {
        this.arr = arr;
    }

    /**
     * 堆排序的主要入口方法，共两步。
     */
    public void sort() {
        /*
         *  第一步：将数组堆化
         *  beginIndex = 第一个非叶子节点。
         *  从第一个非叶子节点开始即可。无需从最后一个叶子节点开始。
         *  叶子节点可以看作已符合堆要求的节点，根节点就是它自己且自己以下值为最大。
         */
        int len = arr.length - 1;
        int beginIndex = (arr.length >> 1)- 1;
        for (int i = beginIndex; i >= 0; i--)
            maxHeapify(i, len);
        /*
         * 第二步：对堆化数据排序
         * 每次都是移出最顶层的根节点A[0]，与最尾部节点位置调换，同时遍历长度 - 1。
         * 然后从新整理被换到根节点的末尾元素，使其符合堆的特性。
         * 直至未排序的堆长度为 0。
         */
        for (int i = len; i > 0; i--) {
            swap(0, i);
            maxHeapify(0, i - 1);
        }
    }

    private void swap(int i, int j) {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }

    /**
     * 调整索引为 index 处的数据，使其符合堆的特性。
     *
     * @param index 需要堆化处理的数据的索引
     * @param len 未排序的堆（数组）的长度
     */
    private void maxHeapify(int index, int len) {
        int li = (index << 1) + 1; // 左子节点索引
        int ri = li + 1;           // 右子节点索引
        int cMax = li;             // 子节点值最大索引，默认左子节点。
        if (li > len) return;      // 左子节点索引超出计算范围，直接返回。
        if (ri <= len && arr[ri] > arr[li]) // 先判断左右子节点，哪个较大。
            cMax = ri;
        if (arr[cMax] > arr[index]) {
            swap(cMax, index);      // 如果父节点被子节点调换，
            maxHeapify(cMax, len);  // 则需要继续判断换下后的父节点是否符合堆的特性。
        }
    }

    /**
     * 测试用例
     *
     * 输出：
     * [0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9]
     */
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[] {3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6};
        new HeapSort(arr).sort();
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

Python

#!/usr/bin/env python
#-*-coding:utf-8-*-


def heap_sort(lst):
    def sift_down(start, end):
        """最大堆调整"""
        root = start
        while True:
            child = 2 * root + 1
            if child > end:
                break
            if child + 1 <= end and lst[child] < lst[child + 1]:
                child += 1
            if lst[root] < lst[child]:
                lst[root], lst[child] = lst[child], lst[root]
                root = child
            else:
                break

# 創建最大堆

    for start in range((len(lst) - 2) // 2, -1, -1):
        sift_down(start, len(lst) - 1)

# 堆排序
    for end in range(len(lst) - 1, 0, -1):
        lst[0], lst[end] = lst[end], lst[0]
        sift_down(0, end - 1)
    return lst



if __name__ == "__main__":
    l = [9, 2, 1, 7, 6, 8, 5, 3, 4]
    heap_sort(l)

JavaScript

Array.prototype.heap_sort = function() {
	var arr = this.slice(0);
	function swap(i, j) {
		var tmp = arr[i];
		arr[i] = arr[j];
		arr[j] = tmp;
	}

	function max_heapify(start, end) {
		//建立父節點指標和子節點指標
		var dad = start;
		var son = dad * 2 + 1;
		if (son >= end)//若子節點指標超過範圍直接跳出函數
			return;
		if (son + 1 < end && arr[son] < arr[son + 1])//先比較兩個子節點大小，選擇最大的
			son++;
		if (arr[dad] < arr[son]) {//如果父節點小於子節點時，交換父子內容再繼續子節點和孫節點比較
			swap(dad, son);
			max_heapify(son, end);
		}
	}

	var len = arr.length;
	//初始化，i從最後一個父節點開始調整
	for (var i = Math.floor(len / 2) - 1; i >= 0; i--)
		max_heapify(i, len);
	//先將第一個元素和已排好元素前一位做交換，再從新調整，直到排序完畢
	for (var i = len - 1; i > 0; i--) {
		swap(0, i);
		max_heapify(0, i);
	}

	return arr;
};
var a = [3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6];
console.log(a.heap_sort());

PHP

<?php
function swap(&$x, &$y) {
	$t = $x;
	$x = $y;
	$y = $t;
}

function max_heapify(&$arr, $start, $end) {
	//建立父節點指標和子節點指標
	$dad = $start;
	$son = $dad * 2 + 1;
	if ($son >= $end)//若子節點指標超過範圍直接跳出函數
		return;
	if ($son + 1 < $end && $arr[$son] < $arr[$son + 1])//先比較兩個子節點大小，選擇最大的
		$son++;
	if ($arr[$dad] <= $arr[$son]) {//如果父節點小於子節點時，交換父子內容再繼續子節點和孫節點比較
		swap($arr[$dad], $arr[$son]);
		max_heapify($arr, $son, $end);
	}
}

function heap_sort($arr) {
	$len = count($arr);
	//初始化，i從最後一個父節點開始調整
	for ($i = ceil($len/2) - 1; $i >= 0; $i--)
		max_heapify($arr, $i, $len);
	//先將第一個元素和已排好元素前一位做交換，再從新調整，直到排序完畢
	for ($i = $len - 1; $i > 0; $i--) {
		swap($arr[0], $arr[$i]);
		max_heapify($arr, 0, $i);
	}
	return $arr;
}

$arr = array(3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6);
$arr = heap_sort($arr);
for ($i = 0; $i < count($arr); $i++)
	echo $arr[$i] . ' ';
?>

Go

package main

import (
	"fmt"
)

func HeapSort(array []int) {
	m := len(array)
	s := m/2
	for i := s; i > -1; i-- {
		heap(array, i, m-1)
	}
	for i := m-1; i > 0; i-- {
		array[i], array[0] = array[0], array[i]
		heap(array, 0, i-1)
	}
}

func heap(array []int, i, end int){
	l := 2*i+1
	if l > end {
		return
	}
	n := l
	r := 2*i+2
	if r <= end && array[r]>array[l]{
		n = r
	}
	if array[i] > array[n]{
		return
	}
	array[n], array[i] = array[i], array[n]
	heap(array, n, end)
}

func main()  {
	array := []int{
		55, 94,87,1,4,32,11,77,39,42,64,53,70,12,9,
	}
	HeapSort(array)
	fmt.Println(array)
}

Julia (编程语言)

function HeapSort(array)
    function adjust(l,u)
        while true
            j = 2*l # 左子點
            if (j>u) # 代表沒有子點
                break
            end 
            if ((j+1) <= u) # 有右子點
                if (array[j] < array[j+1]) 
                    j += 1 #比較左右子點
                end
            end
            if (array[j] > array[l]) #比較父點跟子點
                 array[l], array[j]= array[j], array[l]
                 l = j # 有交換
            else
                break # 沒交換跳出迴圈
            end
        end
    end
    n = length(array)
    for i in n:-1:1 # 建 max Heap
        adjust(i,n)
    end 
    #持續把第一個(最大)的元素最後一個交換
    array[n],array[1]=array[1],array[n] 
    for i in n-1:-1:1
        adjust(1,i)
        array[i],array[1]=array[1],array[i]
    end
    return array
end

Rust

fn max_heapify<T: Ord + Copy>(data: &mut [T], pos: usize, end: usize) {
    let mut dad = pos;
    let mut son = dad * 2 + 1;
    while son <= end {
        if son < end && data[son] < data[son + 1] {
            son += 1;
        }
        if data[dad] > data[son] {
            return;
        } else {
            data.swap(dad, son);
            dad = son;
            son = dad * 2 + 1;
        }
    }
}

fn heap_sort<T:Ord+Copy>(data: &mut[T]) {
    let len = data.len();
    for i in (0..=len / 2 - 1).rev() {
        max_heapify(data, i, len - 1);
    }
    for i in (1..=len - 1).rev() {
        data.swap(0, i);
        max_heapify(data, 0, i - 1);
    }
}

fn main() {
    let mut nums = vec![9, 2, 1, 7, 6, 8, 5, 3, 4];
    heap_sort(nums.as_mut_slice());
}

原地堆排序

基于以上堆相关的操作，我们可以很容易的定义堆排序。例如，假设我们已经读入一系列数据并创建了一个堆，一个最直观的算法就是反复的调用del_max()函数，因为该函数总是能够返回堆中最大的值，然后把它从堆中删除，从而对这一系列返回值的输出就得到了该序列的降序排列。真正的原地堆排序使用了另外一个小技巧。堆排序的过程是：

建立一个堆 $H[0..n-1]$
把堆首（最大值）和堆尾互换
把堆的尺寸缩小1，并调用shift_down(0),目的是把新的数组顶端数据调整到相应位置
重复步骤2，直到堆的尺寸为1

平均复杂度

堆排序的平均时间复杂度为 $\mathrm {O} (n\log n)$ ，空间复杂度为 $\Theta (1)$ 。

参考

^ R. Schaffer, R. Sedgewick. The Analysis of Heapsort. Journal of Algorithms. 1993-07, 15 (1): 76–100 [2022-10-02]. doi:10.1006/jagm.1993.1031. （原始内容存档于2022-01-27）（英语）.

外部链接

常见排序算法 - 堆排序 (Heap Sort)
堆算法的可视化演示可以直观看到堆算法的操作

[1] R. Schaffer, R. Sedgewick. The Analysis of Heapsort. Journal of Algorithms. 1993-07, 15 (1): 76–100 [2022-10-02]. doi:10.1006/jagm.1993.1031. （原始内容存档于2022-01-27）（英语）.

[1]

查论编排序算法
理论	计算复杂性理论大O符号全序关系数据结构术语列表原地算法稳定性比较排序自适应排序（英语：Adaptive sort）排序网络（英语：Sorting network）整数排序（英语：Integer sorting） X+Y排序（英语：X + Y sorting）量子排序（英语：Quantum sort）
交换排序	冒泡排序鸡尾酒排序奇偶排序梳排序侏儒排序快速排序慢速排序臭皮匠排序 Bogo排序
选择排序	选择排序堆排序平滑排序（英语：Smoothsort）笛卡尔树排序（英语：Cartesian tree sort）锦标赛排序（英语：Tournament sort）圈排序（英语：Cycle sort）弱堆排序（英语：Weak heap）
插入排序	插入排序希尔排序伸展排序二叉查找树排序图书馆排序耐心排序
归并排序	归并排序梯级归并排序（英语：Cascade merge sort）振荡归并排序（英语：Oscillating merge sort）多相归并排序（英语：Polyphase merge sort）
分布排序	美国旗帜排序（英语：American flag sort）珠排序桶排序爆炸排序（英语：Burstsort）计数排序比较计数排序插值排序鸽巢排序相邻图排序（英语：Proxmap sort）基数排序闪电排序（英语：Flashsort）
并发排序	双调排序器（英语：Bitonic sorter） Batcher归并网络两两排序网络（英语：Pairwise sorting network）
混合排序	块排序（英语：Block sort） Tim排序内省排序 Spread排序（英语：Spreadsort）归并插入排序（英语：Merge-insertion sort）
其他	拓扑排序煎饼排序意粉排序（英语：Spaghetti sort）