二面体群

雪花有正六边形的二面体对称。

在数学中，二面体群 $D_{2n}$ 是正 $n$ 边形的对称群，具有 $2n$ 个元素。某些书上则记为 $D_{n}$。除了 $n=2$ 的情形外，$D_{2n}$ 都是非交换群。

生成元与关系

抽象言之，首先考虑 $n$ 阶循环群 $C_{n}$。反射 $\tau :x\mapsto x^{-1}$ 是 $C_{n}$ 上的自同构，而且 $\tau ^{2}={\rm {id}}$。定义二面体群为半直积

$D_{2n}=C_{n}\rtimes \{e,\tau \}$

任取 $C_{n}$ 的生成元 $\sigma$，$D_{2n}$ 由 $\sigma ,\tau$ 生成，其间的关系是

$\sigma ^{n}=e,\tau ^{2}=e,\tau \sigma \tau =\sigma ^{-1}\,$

$D_{2n}$ 的元素均可唯一地表成 $\sigma ^{k}\tau ^{h}$，其中 $0\leq k<n$，$h=0,1\,$。

几何诠释

n=5 的情形：反射对称

n=5 的情形：旋转对称

二面体群也可以诠释为二维正交群 $O(2)$ 中由

$\sigma :={\begin{pmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{pmatrix}}$ （旋转 ${\frac {2\pi }{n}}$ 弧度）

$\tau :={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ （对 x 轴反射）

生成的子群。由此不难看出 $D_{2n}$ 是正 n 边形的对称群。

性质

• $D_{2n}$ 的中心在 $n$ 为奇数时是 $\{e\}$，在 $n$ 为偶数时是 $\{e,\sigma ^{n/2}\}$。
• 当 $n$ 为奇数时，$D_{4n}$ 同构于 $D_{2n}$ 与二阶循环群的直积。同构可由下式给出：

$\sigma ^{k+\epsilon n}\tau ^{h}\mapsto (\sigma ^{k}\tau ^{h},\epsilon )$

其中 $h,\epsilon =0,1$，$0\leq k<n$。

• 当 $n$ 为奇数时，$D_{2n}$ 的所有反射（即：二阶元素）彼此共轭；当 $n$ 为偶数，则反射元在共轭作用下分解成两个轨道；从几何方面解释，二者差意在于反射面是否通过正 $n$ 边形的顶点。
• 若 $m|n$，则 $D_{2m}\leq D_{2n}$，由此可导出 $D_{2n}$ 共有 $d(n)+\sigma (n)$ 个子群，其中的算术函数 $d(n)$ 与 $\sigma (n)$ 分别代表 $n$ 的正因数个数与正因数之和。

表示

当 $n$ 为奇数时，$D_{n}$ 有两个一维不可约表示：

$\tau \mapsto (-1)^{k},\;\sigma \mapsto 1\quad (k=0,1)$

当 $n$ 为偶数时，$D_{n}$ 有四个一维不可约表示：

$e$

$\sigma$

$\sigma ^{2}$

$\sigma ^{3}$

$\sigma ^{4}$

$\sigma ^{5}$

$\sigma ^{6}$

$\sigma ^{7}$

$\tau$

$\sigma \tau$

$\sigma ^{2}\tau$

$\sigma ^{3}\tau$

$\sigma ^{4}\tau$

$\sigma ^{5}\tau$

$\sigma ^{6}\tau$

$\sigma ^{7}\tau$

正八边形的停车标志在$D_{8}$的群作用下的结果

$\tau \mapsto (-1)^{k},\sigma \mapsto (-1)^{h}\quad (k,h=0,1)$

其余不可约表示皆为二维，共有 $\lfloor n/2\rfloor$ 个，形如下式：

$\sigma \mapsto {\begin{pmatrix}\omega ^{h}&0\\0&\omega ^{-h}\end{pmatrix}}\;\tau \mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}$

其中 $\omega$ 是任一 n 次本原单位根，$h$ 过 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$。由 $h_{1},h_{2}$ 给出的表示相等价当且仅当 $h_{1}+h_{2}\equiv 0\mod n$。