跳转到内容

瑞利问题

维基百科,自由的百科全书

在流体力学中,瑞利问题Rayleigh problem)或斯托克斯第一问题Stokes first problem),得名于瑞利男爵乔治·斯托克斯,是一个由无限长平板从静止开始运动所产生的流体流动问题。这被认为是具有纳维-斯托克斯方程式精确解的最简单的非稳定问题之一。基思·斯图尔特森英语Keith Stewartson研究了由半无限平板运动所产生的现象 。[1]

流体描述[2][3]

[编辑]

考虑一个对初始静止的无限大流域来说位于的无限长平板突然以定速度方向移动,不可压缩纳维-斯托克斯方程式可简化为

其中黏度。板与流体接触面的初始条件与不滑移条件英语No-slip condition

最后一个条件是由于无限远处的流体无法被的运动所影响。流体的流动只由平板移动所导致,此处并没有外加的压力梯度。

自相似解[4]

[编辑]

该问题类似于一维的热传导问题,因此这里可以引入相似的变量

将它们代入上述的偏微分方程,可以简化为常微分方程

并具有边界条件

上述问题的解可被写成含互补误差函数的形式

单位面积施加在平板上的力为

任意平板运动

[编辑]

除了用上述的阶跃边界条件,平板的速度也可以是时间的任意函数。方程式的解可以写为[5]

圆柱体的瑞利问题

[编辑]

旋转的圆柱

[编辑]

考虑一个半径为的无限长圆柱体于时间时开始以角速度旋转,则方向的速度由下式给出

其中是第二类修正贝索函数。当,方程式的解趋近于刚体涡旋。单位面积施加于圆柱体的力为

其中第一类修正贝索函数。

滑动的圆柱

[编辑]

精确解在圆柱体沿轴向以等速度运动也存在。设圆柱体的轴向指向 方向,则方程式的解为

参看

[编辑]

参考文献

[编辑]
  1. ^ Stewartson, K. T. (1951). On the impulsive motion of a flat plate in a viscous fluid. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 4(2), 182-198.
  2. ^ Batchelor, George Keith. An introduction to fluid dynamics. Cambridge university press, 2000.
  3. ^ Lagerstrom, Paco Axel. Laminar flow theory. Princeton University Press, 1996.
  4. ^ Acheson, David J. Elementary fluid dynamics. Oxford University Press, 1990.
  5. ^ Dryden, Hugh L., Francis D. Murnaghan, and Harry Bateman. Hydrodynamics. New York: Dover publications, 1956.