直觀上,實數完備性(英語:Completeness of the real numbers)意味著實數軸上(以理察·戴德金的說法)沒有「間隙」。這是實數區別於有理數的特點,有理數在數軸上是有間隙的,即無理數。在十進制計數法下,實數的完備性等價於:實數與一個十進制小數表示一一對應。
實數的完備性公理有一組等價命題,完備性的定義方式與實數的構造方式相關。在確立其中之一為公理後,其餘皆為完備性公理的等價定理。
實數完備性可以用以下任意一個等價定理作為出發點。以下從最小上界定理出發,來證明其他等價命題。
又稱為上確界定理(Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB),也就是
也就是說,實數非空子集有上界,則它有最小上界。其證明請參見實數的構造。
設
是實數柯西序列。設 S 為這樣一個集合,其中每個實數只大於序列
中的有限個成員。
,設
使得
,
。於是這個序列在區間
裡出現無限多次,而且只在它的補集裡最多出現有限次。這意味著
S, 因此 S
。另外
是 S 的上界。於是通過 LUB 公理,可以設 b 是 S 的最小上界,而且
。由三角不等式,當 n>N 時成立時
。所以
。
滿足柯西收斂準則的度量空間稱為完備空間,若取函數
為
![{\displaystyle d=\left\{(a,\,b){\bigg |}(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (b=|a|)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85d2837b3134736927c9578e3d9a8a7e13cb57d)
可以驗證
為一度量空間,這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系
有最小上界定理等價於
為完備空間。」
定理聲稱對於任一的有界閉區間套In(例如In = [an, bn]並滿足an ≤ bn),它們的交集In非空,且為閉區間
;特別地,假若
,則它們的交集J為一個包含且僅包含
的單點集。
如果
是一個單調的實數序列(例如單調遞增:
),則這個序列具有有限極限,若且唯若序列有界。此定理可以由LUB公理證明。
波爾查諾-魏爾施特拉斯定理(英語:Bolzano–Weierstrass theorem)說明,
中的一個子集
是序列緊緻(每個序列都有收斂子序列)若且唯若
是有界閉集。更一般地,這個定理對有限維實向量空間
亦有效。