史特姆定理

史特姆定理是一個用於決定多項式的不同實根的個數的方法。這個方法是以雅克·夏爾·法蘭斯瓦·史特姆命名的。

史特姆定理與代數基本定理的一個區別是，代數基本定理是關於多項式的實根或複根的個數，把重根也計算在內，而史特姆定理則只涉及實根，且不把重根計算在內。

標準史特姆序列

我們首先從以下不含重根的多項式構造一個史特姆序列：

$X=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}.$

標準史特姆序列是把多項式長除法應用於$X$和它的導數$X_{1}=X'$時，所得到的中間結果的序列。

標準史特姆序列由以下公式計算：

${\begin{matrix}X_{2}&=&-{\rm {rem}}(X,X_{1})\\X_{3}&=&-{\rm {rem}}(X_{1},X_{2})\\&\vdots &\\0&=&-{\rm {rem}}(X_{r-1},X_{r}),\end{matrix}}$

也就是說，序列中每一項都是前兩項相除所得的餘數，並將其變號。由於當$1\leq i<r$時，$\operatorname {deg} X_{i+1}\leq \operatorname {deg} X_{i}-1$，因此這個序列最終要停止。最後一個多項式，$X_{r}$，就是$X$和它的導數的最大公因式。由於$X$沒有重根，因此$X_{r}$是一個常數。於是，標準史特姆序列為：

$X,X_{1},X_{2},\ldots ,X_{r}.\,$

表述

設$V_{\xi }$為以下序列中符號變化的次數（零不計算在內）：

$X(\xi ),X_{1}(\xi ),X_{2}(\xi ),\ldots ,X_{r}(\xi ),\,\!$

其中$X$是不含重根的多項式。於是，史特姆定理說明，對於兩個實數$a,b$，開區間$(a,b)$中的不同根的個數為$V_{a}-V_{b}$。

應用

通過恰當選擇$a,b$，這個定理可以用來計算多項式的實根的總個數。例如，柯西發現的一個定理說明，係數為$a_{i}$的多項式的所有實根都在區間$[-M,M]$內，其中：

$M=1+{\frac {\max _{i=0}^{n-1}|a_{i}|}{|a_{n}|}}.\,\!$

除此以外，我們還可以利用下列事實：對於很大的正數$x$，以下多項式的符號

$P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots \,\!$

是$\operatorname {sgn}(a_{n})$，而$\operatorname {sgn}(P(-x))$則是$\operatorname {sgn}((-1)^{n}a_{n})$。

用這種方法，僅僅計算史特姆序列中首項係數的符號變化，就可以得出多項式的不同實根的個數。

通過史特姆定理的幫助，我們還可以決定某個給定根（例如$\xi$）是幾重根。確實，假設我們知道$\xi$在$(a,b)$內，且$V_{a}-V_{b}=1$。那麼，$\xi$是$m$重根正好當$\xi$是$X_{r}$的$m-1$重根時（這是因為它是$X$和它的導數的最大公因式）。

一般的史特姆序列

$[a,b]$ 上的史特姆序列，是實係數多項式 $X$ 的一個有限序列$X_{0},X_{1},\ldots ,X_{r}$，使得：

1. $X_{r}$在 $[a,b]$ 上沒有根
2. $X_{0}(a)X_{0}(b)\neq 0$
3. 如果對於$\xi \in [a,b],1\leq i\leq r-1,X_{i}(\xi )=0$，那麼$X_{i-1}(\xi )X_{i+1}(\xi )<0$
4. 若對於$\xi \in [a,b],X(\xi )=0$ ,則存在$\delta >0$,使得 $c\in (\xi -\delta ,\xi )$時，$X_{0}(c)X_{1}(c)<0$ 而 $c\in (\xi ,\xi +\delta )$ 時 $X_{0}(c)X_{1}(c)>0$

我們可以驗證每一個標準史特姆序列確實是如上定義的史特姆序列。

相關條目

• 勞斯–赫爾維茨穩定性判據
• 笛卡兒符號法則

參考資料

• D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

外部連結

• 史特姆定理的C代碼