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高斯整數分解表

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高斯整數分解表又稱高斯質因數表是一種數學用表,類似於質因數表,表中紀錄了高斯整數的高斯整數分解。 高斯整數可以是、四個複數單位元素(±1和±i)之一、高斯質數或高斯合數。在高斯整數分解表中,高斯整數x + iy後面跟著的是其高斯整數分解或標標記該數為高斯質數。 高斯整數分解的形式則以複數單位元素乘以若干個高斯質數的整數冪。

高斯整數分解與一般質因數分解不一樣,有部分的實質數不是高斯質數。 例如5這個實質數,在高斯整數分解中,可以分解為2+i和2-i的積,即,因此5在高斯整數分解表中不是高斯質數。

慣例

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類似於質因數分解,高斯整數分解或高斯質因數分解是指將高斯整數分解成複數單位和若干個高斯質數的整數冪的乘積。[1] 而若將每一個高斯整數的分解都列出並沒有意義,因為高斯整數x + iy的高斯整數分解與- x + iy- x - iyx - iy的結果將會非常類似,其僅差在乘上的單位不同或者不同高斯質因數互相共軛而已[註 1], 因此僅需要列出第一象限的高斯整數就能推導到其他象限的高斯整數之分解結果。

表的第二列僅包含高斯平面第一象限中的高斯整數,這代表實部x為正整數,虛部y為非負整數。 使用高斯平面的對稱性y + ix =i (xiy),這個表可以進一步地化簡高斯平面上的高斯整數。[註 2]

高斯整數分解通常不是唯一的,因為單位可以被吸收到指數等於1其他因數中。 以 4+2i = −i(1+i)2(2+i)為例,其也可以寫成4+2i= (1+i)2(1−2i)。 表中透過以下約定解決了此種歧義:因數是右高斯半平面中的高斯質數,且實部的絕對值要大於或等於虛部的絕對值。[1]

平面上,並非所有高斯整數的範數x2 + y2[2]都有整數點[3],高斯整數分解表依照有整數點的範數(OEIS數列A001481)遞增排序。 表中窮舉了直到表尾的最大範數中,所有第一象限的高斯質數和高斯合數。

高斯質數是指無法被除了零、單位和本身外的其他高斯整數整除的高斯整數[4],其只出現在範數的子集中[5],也就是說,並非所有的範數都存在高斯質數[6]

有高斯質數的範數前幾個為2、5、9、13、17、29、37、41、49......(OEIS數列A055025)。 前幾個高斯質數為1+i、1+2i、2+i、3、2+3i、3+2i、1+4i、4+i、2+5i、5+2i......(OEIS實部數列A103431和虛部數列A103432[7]

相對的,高斯合數是指可以被除了零、單位和本身外的其他高斯整數整除的高斯整數。 除了零和單位外,高斯整數不是高斯質數就是高斯合數。[8]

高斯質因數

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在下表並未收錄純虛數的高斯整數,因為其質因數分解即為虛數單位乘以其虛部的高斯質因數分解。如2i,其高斯質因數分解為2的高斯質因數分解僅差一個負虛數單位倍,因此無須單獨列出。

範數 高斯整數 質因數
2 1+i (高斯質數)
4 2 i·(1+i)2
5 2+i
1+2i
(高斯質數)[5]
(高斯質數)
8 2+2i i·(1+i)3
9 3 (高斯質數)
10 1+3i
3+i
(1+i)·(2+i)
(1+i)·(2−i)
13 3+2i
2+3i
(高斯質數)
(高斯質數)
16 4 −(1+i)4
17 1+4i
4+i
(高斯質數)
(高斯質數)
18 3+3i (1+i)·3
20 2+4i
4+2i
(1+i)2·(2−i)
i·(1+i)2·(2+i)
25 3+4i
4+3i
5
(2+i)2
i·(2−i)2
(2+i)·(2−i)
26 1+5i
5+i
(1+i)·(3+2i)
(1+i)·(3−2i)
29 2+5i
5+2i
(高斯質數)[5]
(高斯質數)
32 4+4i −(1+i)5
34 3+5i
5+3i
(1+i)·(4+i)
(1+i)·(4−i)
36 6 i·(1+i)2·3
37 1+6i
6+i
(高斯質數)
(高斯質數)
40 2+6i
6+2i
i·(1+i)3·(2+i)
i·(1+i)3·(2−i)
41 4+5i
5+4i
(高斯質數)
(高斯質數)
45 3+6i
6+3i
i·(2−i)·3
(2+i)·3
49 7 (高斯質數)
50 1+7i
5+5i
7+i
i·(1+i)·(2−i)2
(1+i)·(2+i)·(2−i)
i·(1+i)·(2+i)2
52 4+6i
6+4i
(1+i)2·(3−2i)
i·(1+i)2·(3+2i)
53 2+7i
7+2i
(高斯質數)
(高斯質數)
58 3+7i
7+3i
(1+i)·(5+2i)
(1+i)·(5−2i)
61 5+6i
6+5i
(高斯質數)
(高斯質數)
64 8 i·(1+i)6
65 1+8i
4+7i
7+4i
8+i
i·(2+i)·(3−2i)
(2+i)·(3+2i)
i·(2−i)·(3−2i)
(2−i)·(3+2i)
68 2+8i
8+2i
(1+i)2·(4−i)
i·(1+i)2·(4+i)
72 6+6i i·(1+i)3·3
73 3+8i
8+3i
(高斯質數)
(高斯質數)
74 5+7i
7+5i
(1+i)·(6+i)
(1+i)·(6−i)
80 4+8i
8+4i
i·(1+i)4·(2−i)
−(1+i)4·(2+i)
81 9 32
82 1+9i
9+i
(1+i)·(5+4i)
(1+i)·(5−4i)
85 2+9i
6+7i
7+6i
9+2i
i·(2−i)·(4+i)
i·(2−i)·(4−i)
(2+i)·(4+i)
(2+i)·(4−i)
89 5+8i
8+5i
(高斯質數)
(高斯質數)
90 3+9i
9+3i
(1+i)·(2+i)·3[5]
(1+i)·(2−i)·3
97 4+9i
9+4i
(高斯質數)
(高斯質數)
98 7+7i (1+i)·7
100 6+8i
8+6i
10
i·(1+i)2·(2+i)2
(1+i)2·(2−i)2
i·(1+i)2·(2+i)·(2−i)
101 1+10i
10+i
(高斯質數)
(高斯質數)
104 2+10i
10+2i
i·(1+i)3·(3+2i)
i·(1+i)3·(3−2i)
106 5+9i
9+5i
(1+i)·(7+2i)
(1+i)·(7−2i)
109 3+10i
10+3i
(高斯質數)
(高斯質數)
113 7+8i
8+7i
(高斯質數)
(高斯質數)
116 4+10i
10+4i
(1+i)2·(5−2i)
i·(1+i)2·(5+2i)
117 6+9i
9+6i
i·3·(3−2i)
3·(3+2i)
121 11 (高斯質數)
122 1+11i
11+i
(1+i)·(6+5i)
(1+i)·(6−5i)
125 2+11i
5+10i
10+5i
11+2i
(2+i)3
i·(2+i)·(2−i)2
(2+i)2·(2−i)
i·(2−i)3
128 8+8i i·(1+i)7
130 3+11i
7+9i
9+7i
11+3i
i·(1+i)·(2−i)·(3−2i)
(1+i)·(2−i)·(3+2i)
(1+i)·(2+i)·(3−2i)
i·(1+i)·(2+i)·(3+2i)
136 6+10i
10+6i
i·(1+i)3·(4+i)
i·(1+i)3·(4−i)
137 4+11i
11+4i
(高斯質數)
(高斯質數)
144 12 −(1+i)4·3
145 1+12i
8+9i
9+8i
12+i
i·(2−i)·(5+2i)
(2+i)·(5+2i)
i·(2−i)·(5−2i)
(2+i)·(5−2i)
146 5+11i
11+5i
(1+i)·(8+3i)
(1+i)·(8−3i)
148 2+12i
12+2i
(1+i)2·(6−i)
i·(1+i)2·(6+i)
149 7+10i
10+7i
(高斯質數)
(高斯質數)
153 3+12i
12+3i
i·3·(4−i)
3·(4+i)
157 6+11i
11+6i
(高斯質數)
(高斯質數)
160 4+12i
12+4i
−(1+i)5·(2+i)
−(1+i)5·(2−i)
162 9+9i (1+i)·32
164 8+10i
10+8i
(1+i)2·(5−4i)
i·(1+i)2·(5+4i)
169 5+12i
12+5i
13
(3+2i)2
i·(3−2i)2
(3+2i)·(3−2i)
170 1+13i
7+11i
11+7i
13+i
(1+i)·(2+i)·(4+i)
(1+i)·(2+i)·(4−i)
(1+i)·(2−i)·(4+i)
(1+i)·(2−i)·(4−i)
173 2+13i
13+2i
(高斯質數)
(高斯質數)
178 3+13i
13+3i
(1+i)·(8+5i)
(1+i)·(8−5i)
180 6+12i
12+6i
(1+i)2·(2−i)·3
i·(1+i)2·(2+i)·3
181 9+10i
10+9i
(高斯質數)
(高斯質數)
185 4+13i
8+11i
11+8i
13+4i
i·(2−i)·(6+i)
i·(2−i)·(6−i)
(2+i)·(6+i)
(2+i)·(6−i)
193 7+12i
12+7i
(高斯質數)
(高斯質數)
194 5+13i
13+5i
(1+i)·(9+4i)
(1+i)·(9−4i)
196 14 i·(1+i)2·7
197 1+14i
14+i
(高斯質數)
(高斯質數)
200 2+14i
10+10i
14+2i
(1+i)3·(2−i)2
i·(1+i)3·(2+i)·(2−i)
−(1+i)3·(2+i)2
202 9+11i
11+9i
(1+i)·(10+i)
(1+i)·(10−i)
205 3+14i
6+13i
13+6i
14+3i
i·(2+i)·(5−4i)
(2+i)·(5+4i)
i·(2−i)·(5−4i)
(2−i)·(5+4i)
208 8+12i
12+8i
i·(1+i)4·(3−2i)
−(1+i)4·(3+2i)
212 4+14i
14+4i
(1+i)2·(7−2i)
i·(1+i)2·(7+2i)
218 7+13i
13+7i
(1+i)·(10+3i)
(1+i)·(10−3i)
221 5+14i
10+11i
11+10i
14+5i
i·(3−2i)·(4+i)
(3+2i)·(4+i)
i·(3−2i)·(4−i)
(3+2i)·(4−i)
225 9+12i
12+9i
15
(2+i)2·3
i·(2−i)2·3
(2+i)·(2−i)·3
226 1+15i
15+i
(1+i)·(8+7i)
(1+i)·(8−7i)
229 2+15i
15+2i
(高斯質數)
(高斯質數)
232 6+14i
14+6i
i·(1+i)3·(5+2i)[5]
i·(1+i)3·(5−2i)
233 8+13i
13+8i
(高斯質數)
(高斯質數)
234 3+15i
15+3i
(1+i)·3·(3+2i)
(1+i)·3·(3−2i)
241 4+15i
15+4i
(高斯質數)
(高斯質數)
242 11+11i (1+i)·11
244 10+12i
12+10i
(1+i)2·(6−5i)
i·(1+i)2·(6+5i)
245 7+14i
14+7i
i·(2−i)·7
(2+i)·7
250 5+15i
9+13i
13+9i
15+5i
(1+i)·(2+i)2·(2−i)
i·(1+i)·(2−i)3
i·(1+i)·(2+i)3
(1+i)·(2+i)·(2−i)2
範數 高斯整數 質因數
256 16 (1+i)8
257 1+16i
16+i
(高斯質數)
(高斯質數)
260 2+16i
8+14i
14+8i
16+2i
(1+i)2·(2+i)·(3−2i)
i·(1+i)2·(2+i)·(3+2i)
(1+i)2·(2−i)·(3−2i)
i·(1+i)2·(2−i)·(3+2i)
261 6+15i
15+6i
i·3·(5−2i)
3·(5+2i)
265 3+16i
11+12i
12+11i
16+3i
i·(2−i)·(7+2i)
i·(2−i)·(7−2i)
(2+i)·(7+2i)
(2+i)·(7−2i)
269 10+13i
13+10i
(高斯質數)
(高斯質數)
272 4+16i
16+4i
i·(1+i)4·(4−i)
−(1+i)4·(4+i)
274 7+15i
15+7i
(1+i)·(11+4i)
(1+i)·(11−4i)
277 9+14i
14+9i
(高斯質數)
(高斯質數)
281 5+16i
16+5i
(高斯質數)
(高斯質數)
288 12+12i −(1+i)5·3
289 8+15i
15+8i
17
i·(4−i)2
(4+i)2
(4+i)·(4−i)
290 1+17i
11+13i
13+11i
17+i
i·(1+i)·(2−i)·(5−2i)
(1+i)·(2+i)·(5−2i)
(1+i)·(2−i)·(5+2i)
i·(1+i)·(2+i)·(5+2i)
292 6+16i
16+6i
(1+i)2·(8−3i)
i·(1+i)2·(8+3i)
293 2+17i
17+2i
(高斯質數)
(高斯質數)
296 10+14i
14+10i
i·(1+i)3·(6+i)
i·(1+i)3·(6−i)
298 3+17i
17+3i
(1+i)·(10+7i)
(1+i)·(10−7i)
305 4+17i
7+16i
16+7i
17+4i
i·(2+i)·(6−5i)
(2+i)·(6+5i)
i·(2−i)·(6−5i)
(2−i)·(6+5i)
306 9+15i
15+9i
(1+i)·3·(4+i)
(1+i)·3·(4−i)
313 12+13i
13+12i
(高斯質數)
(高斯質數)
314 5+17i
17+5i
(1+i)·(11+6i)
(1+i)·(11−6i)
317 11+14i
14+11i
(高斯質數)
(高斯質數)
320 8+16i
16+8i
−(1+i)6·(2−i)
i·(1+i)6·(2+i)
324 18 i·(1+i)2·32
325 1+18i
6+17i
10+15i
15+10i
17+6i
18+i
(2+i)2·(3+2i)
i·(2−i)2·(3+2i)
i·(2+i)·(2−i)·(3−2i)
(2+i)·(2−i)·(3+2i)
(2+i)2·(3−2i)
i·(2−i)2·(3−2i)
328 2+18i
18+2i
i·(1+i)3·(5+4i)
i·(1+i)3·(5−4i)
333 3+18i
18+3i
i·3·(6−i)
3·(6+i)
337 9+16i
16+9i
(高斯質數)
(高斯質數)
338 7+17i
13+13i
17+7i
i·(1+i)·(3−2i)2
(1+i)·(3+2i)·(3−2i)
i·(1+i)·(3+2i)2
340 4+18i
12+14i
14+12i
18+4i
(1+i)2·(2−i)·(4+i)
(1+i)2·(2−i)·(4−i)
i·(1+i)2·(2+i)·(4+i)
i·(1+i)2·(2+i)·(4−i)
346 11+15i
15+11i
(1+i)·(13+2i)
(1+i)·(13−2i)
349 5+18i
18+5i
(高斯質數)
(高斯質數)
353 8+17i
17+8i
(高斯質數)
(高斯質數)
356 10+16i
16+10i
(1+i)2·(8−5i)
i·(1+i)2·(8+5i)
360 6+18i
18+6i
i·(1+i)3·(2+i)·3
i·(1+i)3·(2−i)·3
361 19 (高斯質數)
362 1+19i
19+i
(1+i)·(10+9i)
(1+i)·(10−9i)
365 2+19i
13+14i
14+13i
19+2i
i·(2−i)·(8+3i)
(2+i)·(8+3i)
i·(2−i)·(8−3i)
(2+i)·(8−3i)
369 12+15i
15+12i
i·3·(5−4i)
3·(5+4i)
370 3+19i
9+17i
17+9i
19+3i
(1+i)·(2+i)·(6+i)
(1+i)·(2+i)·(6−i)
(1+i)·(2−i)·(6+i)
(1+i)·(2−i)·(6−i)
373 7+18i
18+7i
(高斯質數)
(高斯質數)
377 4+19i
11+16i
16+11i
19+4i
i·(3−2i)·(5+2i)
(3+2i)·(5+2i)
i·(3−2i)·(5−2i)
(3+2i)·(5−2i)
386 5+19i
19+5i
(1+i)·(12+7i)
(1+i)·(12−7i)
388 8+18i
18+8i
(1+i)2·(9−4i)
i·(1+i)2·(9+4i)
389 10+17i
17+10i
(高斯質數)
(高斯質數)
392 14+14i i·(1+i)3·7
394 13+15i
15+13i
(1+i)·(14+i)
(1+i)·(14−i)
397 6+19i
19+6i
(高斯質數)
(高斯質數)
400 12+16i
16+12i
20
−(1+i)4·(2+i)2
i·(1+i)4·(2−i)2
−(1+i)4·(2+i)·(2−i)
401 1+20i
20+i
(高斯質數)
(高斯質數)
404 2+20i
20+2i
(1+i)2·(10−i)
i·(1+i)2·(10+i)
405 9+18i
18+9i
i·(2−i)·32
(2+i)·32
409 3+20i
20+3i
(高斯質數)
(高斯質數)
410 7+19i
11+17i
17+11i
19+7i
i·(1+i)·(2−i)·(5−4i)
(1+i)·(2−i)·(5+4i)
(1+i)·(2+i)·(5−4i)
i·(1+i)·(2+i)·(5+4i)
416 4+20i
20+4i
−(1+i)5·(3+2i)
−(1+i)5·(3−2i)
421 14+15i
15+14i
(高斯質數)
(高斯質數)
424 10+18i
18+10i
i·(1+i)3·(7+2i)
i·(1+i)3·(7−2i)
425 5+20i
8+19i
13+16i
16+13i
19+8i
20+5i
i·(2+i)·(2−i)·(4−i)
(2+i)2·(4+i)
i·(2−i)2·(4+i)
(2+i)2·(4−i)
i·(2−i)2·(4−i)
(2+i)·(2−i)·(4+i)
433 12+17i
17+12i
(高斯質數)
(高斯質數)
436 6+20i
20+6i
(1+i)2·(10−3i)
i·(1+i)2·(10+3i)
441 21 3·7
442 1+21i
9+19i
19+9i
21+i
i·(1+i)·(3−2i)·(4−i)
(1+i)·(3+2i)·(4−i)
(1+i)·(3−2i)·(4+i)
i·(1+i)·(3+2i)·(4+i)
445 2+21i
11+18i
18+11i
21+2i
i·(2+i)·(8−5i)
(2+i)·(8+5i)
i·(2−i)·(8−5i)
(2−i)·(8+5i)
449 7+20i
20+7i
(高斯質數)
(高斯質數)
450 3+21i
15+15i
21+3i
i·(1+i)·(2−i)2·3
(1+i)·(2+i)·(2−i)·3
i·(1+i)·(2+i)2·3
452 14+16i
16+14i
(1+i)2·(8−7i)
i·(1+i)2·(8+7i)
457 4+21i
21+4i
(高斯質數)
(高斯質數)
458 13+17i
17+13i
(1+i)·(15+2i)
(1+i)·(15−2i)
461 10+19i
19+10i
(高斯質數)
(高斯質數)
464 8+20i
20+8i
i·(1+i)4·(5−2i)
−(1+i)4·(5+2i)
466 5+21i
21+5i
(1+i)·(13+8i)
(1+i)·(13−8i)
468 12+18i
18+12i
(1+i)2·3·(3−2i)
i·(1+i)2·3·(3+2i)
477 6+21i
21+6i
i·3·(7−2i)
3·(7+2i)
481 9+20i
15+16i
16+15i
20+9i
i·(3−2i)·(6+i)
i·(3−2i)·(6−i)
(3+2i)·(6+i)
(3+2i)·(6−i)
482 11+19i
19+11i
(1+i)·(15+4i)
(1+i)·(15−4i)
484 22 i·(1+i)2·11
485 1+22i
14+17i
17+14i
22+i
i·(2−i)·(9+4i)
(2+i)·(9+4i)
i·(2−i)·(9−4i)
(2+i)·(9−4i)
488 2+22i
22+2i
i·(1+i)3·(6+5i)
i·(1+i)3·(6−5i)
490 7+21i
21+7i
(1+i)·(2+i)·7
(1+i)·(2−i)·7
493 3+22i
13+18i
18+13i
22+3i
i·(4+i)·(5−2i)
i·(4−i)·(5−2i)
(4+i)·(5+2i)
(4−i)·(5+2i)
500 4+22i
10+20i
20+10i
22+4i
i·(1+i)2·(2+i)3
(1+i)2·(2+i)·(2−i)2
i·(1+i)2·(2+i)2·(2−i)
(1+i)2·(2−i)3
505 8+21i
12+19i
19+12i
21+8i
i·(2−i)·(10+i)
i·(2−i)·(10−i)
(2+i)·(10+i)
(2+i)·(10−i)

高斯整數 質因數
505 8+21i
12+19i
19+12i
21+8i
i·(2−i)·(10+i)
i·(2−i)·(10−i)
(2+i)·(10+i)
(2+i)·(10−i)
509 5+22i
22+5i
(高斯質數)
(高斯質數)
512 16+16i (1+i)9
514 15+17i
17+15i
(1+i)·(16+i)
(1+i)·(16−i)
520 6+22i
14+18i
18+14i
22+6i
(1+i)3·(2−i)·(3−2i)
i·(1+i)3·(2−i)·(3+2i)
i·(1+i)3·(2+i)·(3−2i)
−(1+i)3·(2+i)·(3+2i)
521 11+20i
20+11i
(高斯質數)
(高斯質數)
522 9+21i
21+9i
(1+i)·3·(5+2i)
(1+i)·3·(5−2i)
529 23 (高斯質數)
530 1+23i
13+19i
19+13i
23+i
(1+i)·(2+i)·(7+2i)
(1+i)·(2+i)·(7−2i)
(1+i)·(2−i)·(7+2i)
(1+i)·(2−i)·(7−2i)
533 2+23i
7+22i
22+7i
23+2i
i·(3+2i)·(5−4i)
(3+2i)·(5+4i)
i·(3−2i)·(5−4i)
(3−2i)·(5+4i)
538 3+23i
23+3i
(1+i)·(13+10i)
(1+i)·(13−10i)
541 10+21i
21+10i
(高斯質數)
(高斯質數)
544 12+20i
20+12i
−(1+i)5·(4+i)
−(1+i)5·(4−i)
545 4+23i
16+17i
17+16i
23+4i
i·(2−i)·(10+3i)
i·(2−i)·(10−3i)
(2+i)·(10+3i)
(2+i)·(10−3i)
548 8+22i
22+8i
(1+i)2·(11−4i)
i·(1+i)2·(11+4i)
549 15+18i
18+15i
i·3·(6−5i)
3·(6+5i)
554 5+23i
23+5i
(1+i)·(14+9i)
(1+i)·(14−9i)
557 14+19i
19+14i
(高斯質數)
(高斯質數)
562 11+21i
21+11i
(1+i)·(16+5i)
(1+i)·(16−5i)
565 6+23i
9+22i
22+9i
23+6i
i·(2+i)·(8−7i)
(2+i)·(8+7i)
i·(2−i)·(8−7i)
(2−i)·(8+7i)
569 13+20i
20+13i
(高斯質數)
(高斯質數)
576 24 i·(1+i)6·3
577 1+24i
24+i
(高斯質數)
(高斯質數)
578 7+23i
17+17i
23+7i
(1+i)·(4+i)2
(1+i)·(4+i)·(4−i)
(1+i)·(4−i)2
580 2+24i
16+18i
18+16i
24+2i
(1+i)2·(2−i)·(5+2i)
i·(1+i)2·(2+i)·(5+2i)
(1+i)2·(2−i)·(5−2i)
i·(1+i)2·(2+i)·(5−2i)
584 10+22i
22+10i
i·(1+i)3·(8+3i)
i·(1+i)3·(8−3i)
585 3+24i
12+21i
21+12i
24+3i
i·(2+i)·3·(3−2i)
(2+i)·3·(3+2i)
i·(2−i)·3·(3−2i)
(2−i)·3·(3+2i)
586 15+19i
19+15i
(1+i)·(17+2i)
(1+i)·(17−2i)
592 4+24i
24+4i
i·(1+i)4·(6−i)
−(1+i)4·(6+i)
593 8+23i
23+8i
(高斯質數)
(高斯質數)
596 14+20i
20+14i
(1+i)2·(10−7i)
i·(1+i)2·(10+7i)
601 5+24i
24+5i
(高斯質數)
(高斯質數)
605 11+22i
22+11i
i·(2−i)·11
(2+i)·11
610 9+23i
13+21i
21+13i
23+9i
i·(1+i)·(2−i)·(6−5i)
(1+i)·(2−i)·(6+5i)
(1+i)·(2+i)·(6−5i)
i·(1+i)·(2+i)·(6+5i)
612 6+24i
24+6i
(1+i)2·3·(4−i)
i·(1+i)2·3·(4+i)
613 17+18i
18+17i
(高斯質數)
(高斯質數)
617 16+19i
19+16i
(高斯質數)
(高斯質數)
625 7+24i
15+20i
20+15i
24+7i
25
−(2−i)4
(2+i)3·(2−i)
i·(2+i)·(2−i)3
i·(2+i)4
(2+i)2·(2−i)2
626 1+25i
25+i
(1+i)·(13+12i)
(1+i)·(13−12i)
628 12+22i
22+12i
(1+i)2·(11−6i)
i·(1+i)2·(11+6i)
629 2+25i
10+23i
23+10i
25+2i
i·(4−i)·(6+i)
i·(4−i)·(6−i)
(4+i)·(6+i)
(4+i)·(6−i)
634 3+25i
25+3i
(1+i)·(14+11i)
(1+i)·(14−11i)
637 14+21i
21+14i
i·(3−2i)·7
(3+2i)·7
640 8+24i
24+8i
i·(1+i)7·(2+i)
i·(1+i)7·(2−i)
641 4+25i
25+4i
(高斯質數)
(高斯質數)
648 18+18i i·(1+i)3·32
650 5+25i
11+23i
17+19i
19+17i
23+11i
25+5i
(1+i)·(2+i)·(2−i)·(3+2i)
(1+i)·(2+i)2·(3−2i)
i·(1+i)·(2−i)2·(3−2i)
i·(1+i)·(2+i)2·(3+2i)
(1+i)·(2−i)2·(3+2i)
(1+i)·(2+i)·(2−i)·(3−2i)
653 13+22i
22+13i
(高斯質數)
(高斯質數)
656 16+20i
20+16i
i·(1+i)4·(5−4i)
−(1+i)4·(5+4i)
657 9+24i
24+9i
i·3·(8−3i)
3·(8+3i)
661 6+25i
25+6i
(高斯質數)
(高斯質數)
666 15+21i
21+15i
(1+i)·3·(6+i)
(1+i)·3·(6−i)
673 12+23i
23+12i
(高斯質數)
(高斯質數)
674 7+25i
25+7i
(1+i)·(16+9i)
(1+i)·(16−9i)
676 10+24i
24+10i
26
i·(1+i)2·(3+2i)2
(1+i)2·(3−2i)2
i·(1+i)2·(3+2i)·(3−2i)
677 1+26i
26+i
(高斯質數)
(高斯質數)
680 2+26i
14+22i
22+14i
26+2i
i·(1+i)3·(2+i)·(4+i)
i·(1+i)3·(2+i)·(4−i)
i·(1+i)3·(2−i)·(4+i)
i·(1+i)3·(2−i)·(4−i)
685 3+26i
18+19i
19+18i
26+3i
i·(2−i)·(11+4i)
(2+i)·(11+4i)
i·(2−i)·(11−4i)
(2+i)·(11−4i)
689 8+25i
17+20i
20+17i
25+8i
i·(3−2i)·(7+2i)
(3+2i)·(7+2i)
i·(3−2i)·(7−2i)
(3+2i)·(7−2i)
692 4+26i
26+4i
(1+i)2·(13−2i)
i·(1+i)2·(13+2i)
697 11+24i
16+21i
21+16i
24+11i
i·(4+i)·(5−4i)
(4+i)·(5+4i)
i·(4−i)·(5−4i)
(4−i)·(5+4i)
698 13+23i
23+13i
(1+i)·(18+5i)
(1+i)·(18−5i)
701 5+26i
26+5i
(高斯質數)
(高斯質數)
706 9+25i
25+9i
(1+i)·(17+8i)
(1+i)·(17−8i)
709 15+22i
22+15i
(高斯質數)
(高斯質數)
712 6+26i
26+6i
i·(1+i)3·(8+5i)
i·(1+i)3·(8−5i)
720 12+24i
24+12i
i·(1+i)4·(2−i)·3
−(1+i)4·(2+i)·3
722 19+19i (1+i)·19
724 18+20i
20+18i
(1+i)2·(10−9i)
i·(1+i)2·(10+9i)
725 7+26i
10+25i
14+23i
23+14i
25+10i
26+7i
(2+i)2·(5+2i)
i·(2+i)·(2−i)·(5−2i)
i·(2−i)2·(5+2i)
(2+i)2·(5−2i)
(2+i)·(2−i)·(5+2i)
i·(2−i)2·(5−2i)
729 27 33
730 1+27i
17+21i
21+17i
27+i
i·(1+i)·(2−i)·(8−3i)
(1+i)·(2+i)·(8−3i)
(1+i)·(2−i)·(8+3i)
i·(1+i)·(2+i)·(8+3i)
733 2+27i
27+2i
(高斯質數)
(高斯質數)
738 3+27i
27+3i
(1+i)·3·(5+4i)
(1+i)·3·(5−4i)
740 8+26i
16+22i
22+16i
26+8i
(1+i)2·(2−i)·(6+i)
(1+i)2·(2−i)·(6−i)
i·(1+i)2·(2+i)·(6+i)
i·(1+i)2·(2+i)·(6−i)
745 4+27i
13+24i
24+13i
27+4i
i·(2+i)·(10−7i)
(2+i)·(10+7i)
i·(2−i)·(10−7i)
(2−i)·(10+7i)
746 11+25i
25+11i
(1+i)·(18+7i)
(1+i)·(18−7i)

高斯整數 質因數
754 5+27i
15+23i
23+15i
27+5i
i·(1+i)·(3−2i)·(5−2i)
(1+i)·(3+2i)·(5−2i)
(1+i)·(3−2i)·(5+2i)
i·(1+i)·(3+2i)·(5+2i)
757 9+26i
26+9i
(高斯質數)
(高斯質數)
761 19+20i
20+19i
(高斯質數)
(高斯質數)
765 6+27i
18+21i
21+18i
27+6i
i·(2−i)·3·(4+i)
i·(2−i)·3·(4−i)
(2+i)·3·(4+i)
(2+i)·3·(4−i)
769 12+25i
25+12i
(高斯質數)
(高斯質數)
772 14+24i
24+14i
(1+i)2·(12−7i)
i·(1+i)2·(12+7i)
773 17+22i
22+17i
(高斯質數)
(高斯質數)
776 10+26i
26+10i
i·(1+i)3·(9+4i)
i·(1+i)3·(9−4i)
778 7+27i
27+7i
(1+i)·(17+10i)
(1+i)·(17−10i)
784 28 −(1+i)4·7
785 1+28i
16+23i
23+16i
28+i
i·(2+i)·(11−6i)
(2+i)·(11+6i)
i·(2−i)·(11−6i)
(2−i)·(11+6i)
788 2+28i
28+2i
(1+i)2·(14−i)
i·(1+i)2·(14+i)
793 3+28i
8+27i
27+8i
28+3i
i·(3+2i)·(6−5i)
(3+2i)·(6+5i)
i·(3−2i)·(6−5i)
(3−2i)·(6+5i)
794 13+25i
25+13i
(1+i)·(19+6i)
(1+i)·(19−6i)
797 11+26i
26+11i
(高斯質數)
(高斯質數)
800 4+28i
20+20i
28+4i
i·(1+i)5·(2−i)2
−(1+i)5·(2+i)·(2−i)
i·(1+i)5·(2+i)2
801 15+24i
24+15i
i·3·(8−5i)
3·(8+5i)
802 19+21i
21+19i
(1+i)·(20+i)
(1+i)·(20−i)
808 18+22i
22+18i
i·(1+i)3·(10+i)
i·(1+i)3·(10−i)
809 5+28i
28+5i
(高斯質數)
(高斯質數)
810 9+27i
27+9i
(1+i)·(2+i)·32
(1+i)·(2−i)·32
818 17+23i
23+17i
(1+i)·(20+3i)
(1+i)·(20−3i)
820 6+28i
12+26i
26+12i
28+6i
(1+i)2·(2+i)·(5−4i)
i·(1+i)2·(2+i)·(5+4i)
(1+i)2·(2−i)·(5−4i)
i·(1+i)2·(2−i)·(5+4i)
821 14+25i
25+14i
(高斯質數)
(高斯質數)
829 10+27i
27+10i
(高斯質數)
(高斯質數)
832 16+24i
24+16i
−(1+i)6·(3−2i)
i·(1+i)6·(3+2i)
833 7+28i
28+7i
i·(4−i)·7
(4+i)·7
841 20+21i
21+20i
29
i·(5−2i)2
(5+2i)2
(5+2i)·(5−2i)
842 1+29i
29+i
(1+i)·(15+14i)
(1+i)·(15−14i)
845 2+29i
13+26i
19+22i
22+19i
26+13i
29+2i
−(2−i)·(3−2i)2
i·(2−i)·(3+2i)·(3−2i)
i·(2+i)·(3−2i)2
(2−i)·(3+2i)2
(2+i)·(3+2i)·(3−2i)
i·(2+i)·(3+2i)2
848 8+28i
28+8i
i·(1+i)4·(7−2i)
−(1+i)4·(7+2i)
850 3+29i
11+27i
15+25i
25+15i
27+11i
29+3i
(1+i)·(2+i)2·(4−i)
i·(1+i)·(2−i)2·(4−i)
(1+i)·(2+i)·(2−i)·(4+i)
(1+i)·(2+i)·(2−i)·(4−i)
i·(1+i)·(2+i)2·(4+i)
(1+i)·(2−i)2·(4+i)
853 18+23i
23+18i
(高斯質數)
(高斯質數)
857 4+29i
29+4i
(高斯質數)
(高斯質數)
865 9+28i
17+24i
24+17i
28+9i
i·(2−i)·(13+2i)
i·(2−i)·(13−2i)
(2+i)·(13+2i)
(2+i)·(13−2i)
866 5+29i
29+5i
(1+i)·(17+12i)
(1+i)·(17−12i)
872 14+26i
26+14i
i·(1+i)3·(10+3i)
i·(1+i)3·(10−3i)
873 12+27i
27+12i
i·3·(9−4i)
3·(9+4i)
877 6+29i
29+6i
(高斯質數)
(高斯質數)
881 16+25i
25+16i
(高斯質數)
(高斯質數)
882 21+21i (1+i)·3·7
884 10+28i
20+22i
22+20i
28+10i
(1+i)2·(3−2i)·(4+i)
i·(1+i)2·(3+2i)·(4+i)
(1+i)2·(3−2i)·(4−i)
i·(1+i)2·(3+2i)·(4−i)
890 7+29i
19+23i
23+19i
29+7i
i·(1+i)·(2−i)·(8−5i)
(1+i)·(2−i)·(8+5i)
(1+i)·(2+i)·(8−5i)
i·(1+i)·(2+i)·(8+5i)
898 13+27i
27+13i
(1+i)·(20+7i)
(1+i)·(20−7i)
900 18+24i
24+18i
30
i·(1+i)2·(2+i)2·3
(1+i)2·(2−i)2·3
i·(1+i)2·(2+i)·(2−i)·3
901 1+30i
15+26i
26+15i
30+i
i·(4+i)·(7−2i)
i·(4−i)·(7−2i)
(4+i)·(7+2i)
(4−i)·(7+2i)
904 2+30i
30+2i
i·(1+i)3·(8+7i)
i·(1+i)3·(8−7i)
905 8+29i
11+28i
28+11i
29+8i
i·(2+i)·(10−9i)
(2+i)·(10+9i)
i·(2−i)·(10−9i)
(2−i)·(10+9i)
909 3+30i
30+3i
i·3·(10−i)
3·(10+i)
914 17+25i
25+17i
(1+i)·(21+4i)
(1+i)·(21−4i)
916 4+30i
30+4i
(1+i)2·(15−2i)
i·(1+i)2·(15+2i)
922 9+29i
29+9i
(1+i)·(19+10i)
(1+i)·(19−10i)
925 5+30i
14+27i
21+22i
22+21i
27+14i
30+5i
i·(2+i)·(2−i)·(6−i)
(2+i)2·(6+i)
i·(2−i)2·(6+i)
(2+i)2·(6−i)
i·(2−i)2·(6−i)
(2+i)·(2−i)·(6+i)
928 12+28i
28+12i
−(1+i)5·(5+2i)
−(1+i)5·(5−2i)
929 20+23i
23+20i
(高斯質數)
(高斯質數)
932 16+26i
26+16i
(1+i)2·(13−8i)
i·(1+i)2·(13+8i)
936 6+30i
30+6i
i·(1+i)3·3·(3+2i)
i·(1+i)3·3·(3−2i)
937 19+24i
24+19i
(高斯質數)
(高斯質數)
941 10+29i
29+10i
(高斯質數)
(高斯質數)
949 7+30i
18+25i
25+18i
30+7i
i·(3−2i)·(8+3i)
(3+2i)·(8+3i)
i·(3−2i)·(8−3i)
(3+2i)·(8−3i)
953 13+28i
28+13i
(高斯質數)
(高斯質數)
954 15+27i
27+15i
(1+i)·3·(7+2i)
(1+i)·3·(7−2i)
961 31 (高斯質數)
962 1+31i
11+29i
29+11i
31+i
(1+i)·(3+2i)·(6+i)
(1+i)·(3+2i)·(6−i)
(1+i)·(3−2i)·(6+i)
(1+i)·(3−2i)·(6−i)
964 8+30i
30+8i
(1+i)2·(15−4i)
i·(1+i)2·(15+4i)
965 2+31i
17+26i
26+17i
31+2i
i·(2+i)·(12−7i)
(2+i)·(12+7i)
i·(2−i)·(12−7i)
(2−i)·(12+7i)
968 22+22i i·(1+i)3·11
970 3+31i
21+23i
23+21i
31+3i
i·(1+i)·(2−i)·(9−4i)
(1+i)·(2+i)·(9−4i)
(1+i)·(2−i)·(9+4i)
i·(1+i)·(2+i)·(9+4i)
976 20+24i
24+20i
i·(1+i)4·(6−5i)
−(1+i)4·(6+5i)
977 4+31i
31+4i
(高斯質數)
(高斯質數)
980 14+28i
28+14i
(1+i)2·(2−i)·7
i·(1+i)2·(2+i)·7
981 9+30i
30+9i
i·3·(10−3i)
3·(10+3i)
985 12+29i
16+27i
27+16i
29+12i
i·(2−i)·(14+i)
i·(2−i)·(14−i)
(2+i)·(14+i)
(2+i)·(14−i)
986 5+31i
19+25i
25+19i
31+5i
(1+i)·(4+i)·(5+2i)
(1+i)·(4−i)·(5+2i)
(1+i)·(4+i)·(5−2i)
(1+i)·(4−i)·(5−2i)
997 6+31i
31+6i
(高斯質數)
(高斯質數)
1000 10+30i
18+26i
26+18i
30+10i
i·(1+i)3·(2+i)2·(2−i)
(1+i)3·(2−i)3
−(1+i)3·(2+i)3
i·(1+i)3·(2+i)·(2−i)2

自然數的高斯質因數

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1 − 20
1
2 -i·(1+i)2
3 3
4 -1·(1+i)4
5 (2+i)·(2-i)
6 -i·(1+i)2·3
7 7
8 i·(1+i)6
9 32
10 -i·(1+i)2·(2+i)·(2-i)
11 11
12 -1·(1+i)4·3
13 (3+2i)·(3-2i)
14 -i·(1+i)2·7
15 (2+i)·(2-i)·3
16 (1+i)8
17 (4+i)·(4-i)
18 -i·(1+i)2·32
19 19
20 -1·(1+i)4·(2+i)·(2-i)
21 − 40
21 3·7
22 -i·(1+i)2·11
23 23
24 i·(1+i)6·3
25 (2+i)2·(2-i)2
26 -i·(1+i)2·(3+2i)·(3-2i)
27 33
28 -1·(1+i)4·7
29 (5+2i)·(5-2i)
30 -i·(1+i)2·(2+i)·(2-i)·3
31 31
32 -i·(1+i)10
33 3·11
34 -i·(1+i)2·(4+i)·(4-i)
35 (2+i)·(2-i)·7
36 -1·(1+i)4·32
37 (6+i)·(6-i)
38 -i·(1+i)2·19
39 3·(3+2i)·(3-2i)
40 i·(1+i)6·(2+i)·(2-i)
41 − 60
41 (5+4i)·(5-4i)
42 -i·(1+i)2·3·7
43 43
44 -1·(1+i)4·11
45 (2+i)·(2-i)·32
46 -i·(1+i)2·23
47 47
48 (1+i)8·3
49 72
50 -i·(1+i)2·(2+i)2·(2-i)2
51 3·(4+i)·(4-i)
52 -1·(1+i)4·(3+2i)·(3-2i)
53 (7+2i)·(7-2i)
54 -i·(1+i)2·33
55 (2+i)·(2-i)·11
56 i·(1+i)6·7
57 3·19
58 (1+i)2·(5+2i)·(-2-5i)
59 59
60 -1·(1+i)4·(2+i)·(2-i)·3
61 − 80
61 (6+5i)·(6-5i)
62 -i·(1+i)2·31
63 32·7
64 -1·(1+i)12
65 (2+i)·(2-i)·(3+2i)·(3-2i)
66 -i·(1+i)2·3·11
67 67
68 -1·(1+i)4·(4+i)·(4-i)
69 3·23
70 -i·(1+i)2·(2+i)·(2-i)·7
71 71
72 i·(1+i)6·32
73 (8+3i)·(8-3i)
74 -1·(1+i)2·(1+6i)·(6+i)
75 (2+i)2·(2-i)2·3
76 -1·(1+i)4·19
77 7·11
78 -i·(1+i)2·3·(3+2i)·(3-2i)
79 79
80 (1+i)8·(2+i)·(2-i)
81 − 100
81 34
82 -i·(1+i)2·(5+4i)·(5-4i)
83 83
84 -1·(1+i)4·3·7
85 (2+i)·(2-i)·(4+i)·(4-i)
86 -i·(1+i)2·43
87 3·(5+2i)·(5-2i)
88 i·(1+i)6·11
89 (8+5i)·(8-5i)
90 -i·(1+i)2·(2+i)·(2-i)·32
91 (3+2i)·(3-2i)·7
92 -1·(1+i)4·23
93 3·31
94 -i·(1+i)2·47
95 (2+i)·(2-i)·19
96 -i·(1+i)10·3
97 (9+4i)·(9-4i)
98 -i·(1+i)2·72
99 32·11
100 -1·(1+i)4·(2+i)2·(2-i)2

參見

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註釋

[編輯]
  1. ^ x + iyx為6、y為8為例, 6 + 8i高斯質因數分解為- 6 + 8i高斯質因數分解為- 6 - 8i高斯質因數分解為6 - 8i高斯質因數分解為可以看到差異通常僅在乘上的單位,或者高斯質因數互相共軛
  2. ^ 計算過程:例如,3−5i不在表中,這時,透過等式y + ix =i (xiy)5 + 3i =i (3 − 5i),同除ii(5 + 3i) = 3 − 5i,因此只需從表中查詢5 + 3i的結果為(1+i)·(4−i)即可推得3 − 5i的高斯整數分解為i·(1+i)·(4−i)

參考文獻

[編輯]
  1. ^ 1.0 1.1 Gaussian integer factorization calculator. alpertron.com.ar. [2023-12-31]. (原始內容存檔於2023-12-31). 
  2. ^ Gethner, Ellen; Wagner, Stan; Wick, Brian. A stroll through the Gaussian primes. Amer. Math. Monthly. 1998, 105 (4): 327–337. JSTOR 2589708. MR 1614871. doi:10.2307/2589708. 
  3. ^ Michael Baake and Uwe Grimm and Dieter Joseph and Przemyslaw Repetowicz. Averaged shelling for quasicrystals (PDF). math/9907156, math.MG, arXiv. 1999 [2023-12-27]. doi:10.48550/arXiv.math/9907156. (原始內容存檔 (PDF)於2022-07-08). 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (編). Gaussian Prime. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 Dresden, Greg; Dymacek, Wayne. Finding factors of factor rings over the Gaussian integers. American Mathematical Monthly. 2005, 112 (7): 602–611. JSTOR 30037545. MR 2158894. doi:10.2307/30037545. 
  6. ^ Reid, Legh Wilber. The elements of the theory of algebraic numbers. Macmillan Company. 1910.  Chap. V.
  7. ^ Sven Simon. List with Gaussian primes (extended) of A103431/A103432. OEIS. [2023-12-31]. (原始內容存檔於2023-12-29). 
  8. ^ LECTURE 10: GAUSSIAN INTEGERS (PDF). www.supermath.info. [2023-12-31]. (原始內容存檔 (PDF)於2023-12-31).