大数 (数学)
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| 各种各样的数 |
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![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
大数是指远远超出了日常生活使用范围（例如简单的计数或金融交易）的数字，在各个领域都发挥着至关重要的作用。这些庞大的数量在数学、宇宙学、密码学和统计力学中占有重要地位。虽然它们通常表现为较大的正整数，但它们也可以在不同情况下呈现其他形式（例如P进数）。大数学（英語：Googology）[1]深入研究了这些巨大数字实体的命名约定和属性。
表示法
[编辑]科学计数法
[编辑]大数字通常采用科学计数法计数，即把数字记成ɑ×10n形式（其中1≤|ɑ|<10）。如59000写作5.9×104等。
分级法
[编辑]| 數量級 | 中文萬進制 | 短級差 (美国, 东欧, 加拿大和 澳大利亚英语 以及现代英语) |
長級差 (西欧中欧和加拿大法语 以及老式英语) |
|---|---|---|---|
| 101 | 十 | Ten | |
| 102 | 百 | Hundred | |
| 103 | 千 | Thousand | |
| 104 | 萬 | ||
| 106 | 百萬 | Million | |
| 108 | 億 | ||
| 109 | 十億 | Billion | Milliard |
| 1012 | 兆 [2] | Trillion | Billion |
| 1015 | 千兆 | Quadrillion | Billiard |
| 1016 | 京 | ||
| 1018 | 百京 | Quintillion | Trillion |
| 1020 | 垓 | ||
| 1021 | 十垓 | Sextillion | |
| 1024 | 秭 | Septillion | Quadrillion |
| 1027 | 千秭 | Octillion | |
| 1028 | 穰 | ||
| 1030 | 百穰 | Nonillion | Quintillion |
| 1032 | 溝 | ||
| 1033 | 十溝 | Decillion | |
| 1036 | 澗 | Undecillion | Sextillion |
| 1039 | 千澗 | Duodecillion | |
| 1040 | 正 | ||
| 1042 | 百正 | Tredecillion | Septillion |
| 1044 | 載 | ||
| 1045 | 十載 | Quattuordecillion | |
| 1048 | 極 | Quindecillion | Octillion |
| 1051 | 千極 | Sexdecillion | |
| 1052 | 恆河沙 | ||
| 1054 | Septendecillion | Nonillion | |
| 1056 | 阿僧祇 | ||
| 1057 | Octodecillion | ||
| 1060 | 那由他 | Novemdecillion | Decillion |
| 1063 | Vigintillion | ||
| 1064 | 不可思議 | ||
| 1066 | Unvigintillion | Undecillion | |
| 1068 | 無量 | ||
| 1069 | Duovigintillion | ||
| 1072 | 大數 | Tresvigintillion | Duodecillion |
| 1075 | Quattuorvigintillion | ||
| 1078 | Tredecillion | ||
| 1084 | Quattuordecillion | ||
| 1090 | Quindecillion | ||
| 1093 | Trigintillion | ||
| 1096 | Sexdecillion | ||
| 10100 | 古戈爾（Googol) | ||
| 10102 | Septendecillion | ||
| 10108 | Octodecillion | ||
| 10114 | Novemdecillion | ||
| 10120 | Vigintillion | ||
| 10123 | Quadragintillion | ||
| 10153 | Quinquagintillion | ||
| 10180 | Trigintillion | ||
| 10183 | Sexagintillion | ||
| 10213 | Septuagintillion | ||
| 10243 | Octogintillion | ||
| 10273 | Nonagintillion | ||
| 10303 | Centillion | ||
| 10600 | Centillion | ||
| 103003 | Millinillion[3] | ||
| 106000 | Millinillion | ||
| 1010100 | 古戈爾普勒克斯（Googolplex) | ||
| 101010100 | Googolplexian | ||
著名的大数
[编辑]- googol（果戈尔、古高尔）
美国数学家爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）在1940年创造，代表10100（1后面接100个0，按数位念作“一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿”，一万后念12个“亿”）
- googolplex（果戈尔普莱克斯、古戈尔普勒克斯）
表示10的一个古戈尔次幂，即1010100（1后面接10100个0）。
- 斯奎斯数（英語：Skewes' number）
表示素数计数函数與对数积分函數交叉點的數值上界，斯奎斯於1933年證明了其中一個上界，又被稱作第一斯奎斯數：
- （左為準確值，右為近似值）。
- 葛立恆數（簡稱G64，因為必須使用64層高德納箭號表示法才表示得出來）
- 拉約數（英語：Rayo's number）
大數記號
[编辑]雖然在現實世界中，使用指數來表示大數就已經綽綽有餘，但是在少數的數學問題中會用到的大數，如葛立恆數，仍然是不能用指數來表示的。為了表達這樣的大數，數學家們想出了以下記號：
- 高德納箭號表示法多層嵌套的指數塔，是一個簡單的符號。
- 超運算按照加法、乘法和冪的遞迴模式來構造更高級的運算，本質上跟箭號表示法是一樣的。
- 康威鏈式箭號表示法這種記號是箭號表示法的一種延伸，它能夠表示遠遠超出葛立恆數的數。
- 斯坦豪斯-莫澤表示法透過多邊形來表示大數。
- 超階乘是階乘的一個擴展。
- 阿克曼函數是一個二元函數，增長率非常快，跟高德納箭號表示法是同一個等級。
- 旋轉箭號表示法它是箭號表示法跟鏈式箭號表示法的延伸，並且所能構造的大數比它們更大。
- BEAF就算是開頭的線性數陣等級，也遠遠超越了上面的大多數記號。
- SUPER它是上面線性數陣的延伸，能够構造出遠遠大於上面線性數陣的超級大數。
大数表示发展史
[编辑]大数的表示最早在古希腊数学家阿基米德开始，他在理论上提出了一种表示大数的方法，但他是否创设了适当的符号不得而知。在他的著作《论数沙》中有这样一段文字：
有人认为，无论是在叙拉古城，还是在整个西西里岛或者在世界上有人烟和没有人迹的地方，沙粒的数目都是无穷的；也有人认为沙粒的数目不是无穷的‘但是想表示沙子的数目是办不到的……但是，我要告诉大家，用我找到的方法，不但能表示出占地球那么大地方的沙粒的数目，甚至还能表示把所有的海洋和洞穴都填满了沙粒，这些沙粒总数不会超过1后面有100个零。
在这段文字中，“1后面连续有100个零”即10100。[4]
参考文献
[编辑]- ^ 曹知秋. 大数理论 (PDF). ISBN 9787230134729.
- ^ 目前对“兆应该表示几”有争议。在《中华人民共和国法定计量单位》的国际单位制词头中，代表一百万（106）的词头mega被翻译成“兆”。台湾的《法定度量衡單位及其使用之倍數、分數之名稱、定義及代號》中，代表一万亿（1012）的词头tera被翻译成“兆”。在中国大陆官方的《新华字典》中，“兆”的定义是“①百万②古代指万亿”。
- ^ Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction illustrated. Oxford University Press. 2017: 20 [2021-02-10]. ISBN 978-0-19-875523-4. （原始内容存档于2020-11-06）. Extract of page 20 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- ^ 徐品方 张红. 数学符号史. 科学出版社. ISBN 978-7-03-017017-0 （中文（中国大陆））.