大數 (數學)
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| 各式各樣的數 |
| 基本 |
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| 延伸 |
| 其他 |
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
大數是指遠遠超出了日常生活使用範圍（例如簡單的計數或金融交易）的數字，在各個領域都發揮着至關重要的作用。這些龐大的數量在數學、宇宙學、密碼學和統計力學中占有重要地位。雖然它們通常表現為較大的正整數，但它們也可以在不同情況下呈現其他形式（例如P進數）。大數學（英語：Googology）[1]深入研究了這些巨大數字實體的命名約定和屬性。
表示法
[編輯]科學計數法
[編輯]大數字通常採用科學計數法計數，即把數字記成ɑ×10n形式（其中1≤|ɑ|<10）。如59000寫作5.9×104等。
分級法
[編輯]| 數量級 | 中文萬進制 | 短級差 (美國, 東歐, 加拿大和 澳大利亞英語 以及現代英語) |
長級差 (西歐中歐和加拿大法語 以及老式英語) |
|---|---|---|---|
| 101 | 十 | Ten | |
| 102 | 百 | Hundred | |
| 103 | 千 | Thousand | |
| 104 | 萬 | ||
| 106 | 百萬 | Million | |
| 108 | 億 | ||
| 109 | 十億 | Billion | Milliard |
| 1012 | 兆 [2] | Trillion | Billion |
| 1015 | 千兆 | Quadrillion | Billiard |
| 1016 | 京 | ||
| 1018 | 百京 | Quintillion | Trillion |
| 1020 | 垓 | ||
| 1021 | 十垓 | Sextillion | |
| 1024 | 秭 | Septillion | Quadrillion |
| 1027 | 千秭 | Octillion | |
| 1028 | 穰 | ||
| 1030 | 百穰 | Nonillion | Quintillion |
| 1032 | 溝 | ||
| 1033 | 十溝 | Decillion | |
| 1036 | 澗 | Undecillion | Sextillion |
| 1039 | 千澗 | Duodecillion | |
| 1040 | 正 | ||
| 1042 | 百正 | Tredecillion | Septillion |
| 1044 | 載 | ||
| 1045 | 十載 | Quattuordecillion | |
| 1048 | 極 | Quindecillion | Octillion |
| 1051 | 千極 | Sexdecillion | |
| 1052 | 恆河沙 | ||
| 1054 | Septendecillion | Nonillion | |
| 1056 | 阿僧祇 | ||
| 1057 | Octodecillion | ||
| 1060 | 那由他 | Novemdecillion | Decillion |
| 1063 | Vigintillion | ||
| 1064 | 不可思議 | ||
| 1066 | Unvigintillion | Undecillion | |
| 1068 | 無量 | ||
| 1069 | Duovigintillion | ||
| 1072 | 大數 | Tresvigintillion | Duodecillion |
| 1075 | Quattuorvigintillion | ||
| 1078 | Tredecillion | ||
| 1084 | Quattuordecillion | ||
| 1090 | Quindecillion | ||
| 1093 | Trigintillion | ||
| 1096 | Sexdecillion | ||
| 10100 | 古戈爾（Googol) | ||
| 10102 | Septendecillion | ||
| 10108 | Octodecillion | ||
| 10114 | Novemdecillion | ||
| 10120 | Vigintillion | ||
| 10123 | Quadragintillion | ||
| 10153 | Quinquagintillion | ||
| 10180 | Trigintillion | ||
| 10183 | Sexagintillion | ||
| 10213 | Septuagintillion | ||
| 10243 | Octogintillion | ||
| 10273 | Nonagintillion | ||
| 10303 | Centillion | ||
| 10600 | Centillion | ||
| 103003 | Millinillion[3] | ||
| 106000 | Millinillion | ||
| 1010100 | 古戈爾普勒克斯（Googolplex) | ||
| 101010100 | Googolplexian | ||
著名的大數
[編輯]- googol（果戈爾、古高爾）
美國數學家愛德華·卡斯納（Edward Kasner）在1940年創造，代表10100（1後面接100個0，按數位念作「一萬億億億億億億億億億億億億」，一萬後念12個「億」）
- googolplex（果戈爾普萊克斯、古戈爾普勒克斯）
表示10的一個古戈爾次冪，即1010100（1後面接10100個0）。
- 斯奎斯數（英語：Skewes' number）
表示素數計數函數與對數積分函數交叉點的數值上界，斯奎斯於1933年證明了其中一個上界，又被稱作第一斯奎斯數：
- （左為準確值，右為近似值）。
- 葛立恆數（簡稱G64，因為必須使用64層高德納箭號表示法才表示得出來）
- 拉約數（英語：Rayo's number）
大數記號
[編輯]雖然在現實世界中，使用指數來表示大數就已經綽綽有餘，但是在少數的數學問題中會用到的大數，如葛立恆數，仍然是不能用指數來表示的。為了表達這樣的大數，數學家們想出了以下記號：
- 高德納箭號表示法多層嵌套的指數塔，是一個簡單的符號。
- 超運算按照加法、乘法和冪的遞迴模式來構造更高級的運算，本質上跟箭號表示法是一樣的。
- 康威鏈式箭號表示法這種記號是箭號表示法的一種延伸，它能夠表示遠遠超出葛立恆數的數。
- 斯坦豪斯-莫澤表示法透過多邊形來表示大數。
- 超階乘是階乘的一個擴展。
- 阿克曼函數是一個二元函數，增長率非常快，跟高德納箭號表示法是同一個等級。
- 旋轉箭號表示法它是箭號表示法跟鏈式箭號表示法的延伸，並且所能構造的大數比它們更大。
- BEAF就算是開頭的線性數陣等級，也遠遠超越了上面的大多數記號。
- SUPER它是上面線性數陣的延伸，能夠構造出遠遠大於上面線性數陣的超級大數。
大數表示發展史
[編輯]大數的表示最早在古希臘數學家阿基米德開始，他在理論上提出了一種表示大數的方法，但他是否創設了適當的符號不得而知。在他的著作《論數沙》中有這樣一段文字：
有人認為，無論是在敘拉古城，還是在整個西西里島或者在世界上有人煙和沒有人跡的地方，沙粒的數目都是無窮的；也有人認為沙粒的數目不是無窮的『但是想表示沙子的數目是辦不到的……但是，我要告訴大家，用我找到的方法，不但能表示出占地球那麼大地方的沙粒的數目，甚至還能表示把所有的海洋和洞穴都填滿了沙粒，這些沙粒總數不會超過1後面有100個零。
在這段文字中，「1後面連續有100個零」即10100。[4]
參考文獻
[編輯]- ^ 曹知秋. 大数理论 (PDF). ISBN 9787230134729.
- ^ 目前對「兆應該表示幾」有爭議。在《中華人民共和國法定計量單位》的國際單位制詞頭中，代表一百萬（106）的詞頭mega被翻譯成「兆」。台灣的《法定度量衡單位及其使用之倍數、分數之名稱、定義及代號》中，代表一萬億（1012）的詞頭tera被翻譯成「兆」。在中國大陸官方的《新華字典》中，「兆」的定義是「①百萬②古代指萬億」。
- ^ Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction illustrated. Oxford University Press. 2017: 20 [2021-02-10]. ISBN 978-0-19-875523-4. （原始內容存檔於2020-11-06）. Extract of page 20 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
- ^ 徐品方 張紅. 数学符号史. 科學出版社. ISBN 978-7-03-017017-0 （中文（中國大陸））.