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最大期望算法

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最大期望演算法Expectation-maximization algorithm,又譯期望最大化算法)在统计中被用于寻找,依赖于不可观察的隐性变量的概率模型中,参数的最大似然估计。

统计计算中,最大期望(EM)算法是在概率模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计算法,其中概率模型依赖于无法观测的隐变量。最大期望算法经常用在机器学习计算机视觉数据聚类(Data Clustering)领域。最大期望算法经过两个步骤交替进行计算,第一步是计算期望(E),利用对隐藏变量的现有估计值,计算其最大似然估计值;第二步是最大化(M),最大化在E步上求得的最大似然值来计算参数的值。M步上找到的参数估计值被用于下一个E步计算中,这个过程不断交替进行。

历史

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最大期望值算法由亞瑟·P·丹普斯特英语Arthur P. Dempster南·萊爾德英语Nan Laird唐納德·魯賓英语Donald Rubin在他们1977年发表的经典论文中提出。他们指出此方法之前其实已经被很多作者「在他们特定的研究领域中多次提出过」。

介绍

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EM算法用于在方程不能直接求解的情况下寻找统计模型的(局部)最大似然参数。这些模型中较为典型的是含有潜变量,未知参数并且已知观测数据的模型。也就是说,要么数据中存在缺失的值,要么模型可以通过假设存在更多未观测到的数据点来更简单地表示。以混合模型(Mixture Model)为例,通过假设每个观察到的数据点都有一个对应的未观察到的数据点,也可以说是潜在变量,来指定每个数据点所属的混合部分,这样就可以更简单地描述混合模型。

EM简单教程

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EM是一个在已知部分相关变量的情况下,估计未知变量的迭代技术。EM的算法流程如下:

  1. 初始化分布参数
  2. 重复直到收敛:
    1. E步骤:根据参数的假设值,给出未知变量的期望估计,应用于缺失值。
    2. M步骤:根据未知变量的估计值,给出当前的参数的极大似然估计。

最大期望过程说明

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我们用表示能够观察到的不完整的变量值,用表示无法观察到的变量值,这样一起组成了完整的数据。可能是实际测量丢失的数据,也可能是能够简化问题的隐藏变量,如果它的值能够知道的话。例如,在混合模型中,如果“产生”样本的混合元素成分已知的话最大似然公式将变得更加便利(参见下面的例子)。

估计无法观测的数据

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代表矢量: 定义的参数的全部数据的機率密度函數(连续情况下)或者機率質量函數(离散情况下),那么从这个函数就可以得到全部数据的最大似然值,另外,在给定的观察到的数据条件下未知数据的条件分布可以表示为:

参见

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参考文献

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