在光學 中，可以以瓊斯運算 來描述偏振 的現象。瓊斯運算是1941年由麻省理工學院的R. C. Jones教授所發明。偏振光的狀態以瓊斯向量 表示，而其他線性的光學元件則以瓊斯矩陣 表示。當偏振光通過偏振片或是波板時，把原來偏振狀態的瓊斯向量乘以光學元件的瓊斯矩陣，即可運算出新的偏振態。必須要注意瓊斯運算只適用於完全極化的光，如果是部分極化、無極化或不同調則需使用穆勒運算 。
偏振態 瓊斯向量
偏振方向平行x軸的線偏振
(
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}
偏振方向平行y軸的線偏振
(
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
偏振方向與x軸夾45°的線偏振
1
2
(
1
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}
偏振方向與x軸夾-45°的線偏振
1
2
(
1
−
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}
偏振方向與x軸夾
θ
{\displaystyle \theta }
(
cos
θ
sin
θ
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}
右旋圓偏振
1
2
(
1
−
i
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}
左旋圓偏振
1
2
(
1
i
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}
以下是常見的偏振片，以瓊斯矩陣的方式表示。
光學元件 瓊斯矩陣
穿透方向平行x軸的線偏振片
(
1
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}
穿透方向平行y軸的線偏振片
(
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}
穿透方向與x軸夾45°的線偏振片
1
2
(
1
1
1
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}
穿透方向與x軸夾-45°的線偏振片
1
2
(
1
−
1
−
1
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}}
右旋偏振片
1
2
(
1
i
−
i
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}
左旋偏振片
1
2
(
1
−
i
i
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}
穿透方向與x軸夾
Ψ
{\displaystyle \Psi }
(
cos
2
Ψ
cos
Ψ
sin
Ψ
sin
Ψ
cos
Ψ
sin
2
Ψ
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}\Psi &\cos \Psi \sin \Psi \\\sin \Psi \cos \Psi &\sin ^{2}\Psi \end{pmatrix}}}
以下是常見的波片，以瓊斯矩陣的方式表示，其中
Γ
{\displaystyle \Gamma }
光學元件 瓊斯矩陣
光軸與x軸平行的波板
(
e
−
i
Γ
/
2
0
0
e
i
Γ
/
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{-i\Gamma /2}&0\\0&e^{i\Gamma /2}\end{pmatrix}}}
光軸與y軸平行的波板
(
e
i
Γ
/
2
0
0
e
−
i
Γ
/
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\Gamma /2}&0\\0&e^{-i\Gamma /2}\end{pmatrix}}}
光軸與x軸夾45°的波板
(
cos
(
Γ
/
2
)
i
sin
(
Γ
/
2
)
i
sin
(
Γ
/
2
)
cos
(
Γ
/
2
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(\Gamma /2)&i\sin(\Gamma /2)\\i\sin(\Gamma /2)&\cos(\Gamma /2)\end{pmatrix}}}
光軸與x軸夾
Ψ
{\displaystyle \Psi }
(
e
−
i
Γ
/
2
cos
2
Ψ
+
e
i
Γ
/
2
sin
2
Ψ
−
i
sin
(
Γ
/
2
)
sin
(
2
Ψ
)
−
i
sin
(
Γ
/
2
)
sin
(
2
Ψ
)
e
−
i
Γ
/
2
sin
2
Ψ
+
e
i
Γ
/
2
cos
2
Ψ
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{-i\Gamma /2}\cos ^{2}\Psi +e^{i\Gamma /2}\sin ^{2}\Psi &-i\sin(\Gamma /2)\sin(2\Psi )\\-i\sin(\Gamma /2)\sin(2\Psi )&e^{-i\Gamma /2}\sin ^{2}\Psi +e^{i\Gamma /2}\cos ^{2}\Psi \end{pmatrix}}}
如果光學元件M相對於本來的座標逆時針旋轉 了
θ
{\displaystyle \theta }
旋轉 過後的光學元件M'與M的關係如下：
M
′
(
θ
)
=
R
(
θ
)
−
1
M
R
(
θ
)
{\displaystyle M'(\theta )=R(\theta )^{-1}\,M\,R(\theta )}
而
R
(
θ
)
=
(
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
)
{\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}
E. Collett, Field Guide to Polarization , SPIE Field Guides vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6 .
E. Hecht, Optics , 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X .
R. C. Jones, "New calculus for the treatment of optical systems," J. Opt. Soc. Am. 31 , 488–493, (1941).
Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, Introduction to Optics , 2nd ed., Prentice Hall (1993). ISBN 0-13-501545-6
A. Gerald and J.M. Burch, Introduction to Matrix Methods in Optics ,1st ed., John Wiley & Sons(1975). ISBN 0-471-29685-6
Jose Jorge Gill, Eusebio Bernabeu, Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, Optik, 76 , 67-71, (1987).
