在光学 中，可以以琼斯运算 来描述偏振 的现象。琼斯运算是1941年由麻省理工学院的R. C. Jones教授所发明。偏振光的状态以琼斯向量 表示，而其他线性的光学元件则以琼斯矩阵 表示。当偏振光通过偏振片或是波板时，把原来偏振状态的琼斯向量乘以光学元件的琼斯矩阵，即可运算出新的偏振态。必须要注意琼斯运算只适用于完全极化的光，如果是部分极化、无极化或不同调则需使用穆勒运算 。
偏振态 琼斯向量
偏振方向平行x轴的线偏振
(
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}
偏振方向平行y轴的线偏振
(
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
偏振方向与x轴夹45°的线偏振
1
2
(
1
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}
偏振方向与x轴夹-45°的线偏振
1
2
(
1
−
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}
偏振方向与x轴夹
θ
{\displaystyle \theta }
(
cos
θ
sin
θ
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}
右旋圆偏振
1
2
(
1
−
i
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}
左旋圆偏振
1
2
(
1
i
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}
以下是常见的偏振片，以琼斯矩阵的方式表示。
光学元件 琼斯矩阵
穿透方向平行x轴的线偏振片
(
1
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}
穿透方向平行y轴的线偏振片
(
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}
穿透方向与x轴夹45°的线偏振片
1
2
(
1
1
1
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}
穿透方向与x轴夹-45°的线偏振片
1
2
(
1
−
1
−
1
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}}
右旋偏振片
1
2
(
1
i
−
i
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}
左旋偏振片
1
2
(
1
−
i
i
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}
穿透方向与x轴夹
Ψ
{\displaystyle \Psi }
(
cos
2
Ψ
cos
Ψ
sin
Ψ
sin
Ψ
cos
Ψ
sin
2
Ψ
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}\Psi &\cos \Psi \sin \Psi \\\sin \Psi \cos \Psi &\sin ^{2}\Psi \end{pmatrix}}}
以下是常见的波片，以琼斯矩阵的方式表示，其中
Γ
{\displaystyle \Gamma }
光学元件 琼斯矩阵
光轴与x轴平行的波板
(
e
−
i
Γ
/
2
0
0
e
i
Γ
/
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{-i\Gamma /2}&0\\0&e^{i\Gamma /2}\end{pmatrix}}}
光轴与y轴平行的波板
(
e
i
Γ
/
2
0
0
e
−
i
Γ
/
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\Gamma /2}&0\\0&e^{-i\Gamma /2}\end{pmatrix}}}
光轴与x轴夹45°的波板
(
cos
(
Γ
/
2
)
i
sin
(
Γ
/
2
)
i
sin
(
Γ
/
2
)
cos
(
Γ
/
2
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(\Gamma /2)&i\sin(\Gamma /2)\\i\sin(\Gamma /2)&\cos(\Gamma /2)\end{pmatrix}}}
光轴与x轴夹
Ψ
{\displaystyle \Psi }
(
e
−
i
Γ
/
2
cos
2
Ψ
+
e
i
Γ
/
2
sin
2
Ψ
−
i
sin
(
Γ
/
2
)
sin
(
2
Ψ
)
−
i
sin
(
Γ
/
2
)
sin
(
2
Ψ
)
e
−
i
Γ
/
2
sin
2
Ψ
+
e
i
Γ
/
2
cos
2
Ψ
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{-i\Gamma /2}\cos ^{2}\Psi +e^{i\Gamma /2}\sin ^{2}\Psi &-i\sin(\Gamma /2)\sin(2\Psi )\\-i\sin(\Gamma /2)\sin(2\Psi )&e^{-i\Gamma /2}\sin ^{2}\Psi +e^{i\Gamma /2}\cos ^{2}\Psi \end{pmatrix}}}
如果光学元件M相对于本来的座标逆时针旋转 了
θ
{\displaystyle \theta }
旋转 过后的光学元件M'与M的关系如下：
M
′
(
θ
)
=
R
(
θ
)
−
1
M
R
(
θ
)
{\displaystyle M'(\theta )=R(\theta )^{-1}\,M\,R(\theta )}
而
R
(
θ
)
=
(
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
)
{\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}
E. Collett, Field Guide to Polarization , SPIE Field Guides vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6 .
E. Hecht, Optics , 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X .
R. C. Jones, "New calculus for the treatment of optical systems," J. Opt. Soc. Am. 31 , 488–493, (1941).
Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, Introduction to Optics , 2nd ed., Prentice Hall (1993). ISBN 0-13-501545-6
A. Gerald and J.M. Burch, Introduction to Matrix Methods in Optics ,1st ed., John Wiley & Sons(1975). ISBN 0-471-29685-6
Jose Jorge Gill, Eusebio Bernabeu, Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, Optik, 76 , 67-71, (1987).
