公理化集合论
外观
在数学中,公理化集合论是集合论透过建立一阶逻辑的严谨重整,以解决朴素集合论中出现的悖论。集合论的基础主要由德国数学家格奥尔格·康托尔在19世纪末建立。
严谨集合论的源起
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集合论的公理
[编辑]集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统,称为Zermelo-Fraenkel集合论(ZF)。实际上,这个名称通常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理,当包括了选择公理,这套系统被称为ZFC。
- 外延公理:(Axiom of extensionality)两个集合相同,若且唯若它们拥有相同的元素。
- 分类公理:(Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension)或称子集公理,给出任何集合及命题P(x),存在著一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
- 配对公理:(Axiom of pairing)假如x, y为集合,那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的仅有元素。
- 并集公理:(Axiom of union)每一个集合也有一个并集。也就是说,对于每一个集合x,也总存在著另一个集合y,而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。
- 空集公理:存在著一个不包含任何元素的集合,我们记这个空集合为{ }。可由分类公理得出。
- 无穷公理:(Axiom of infinity)存在著一个集合x,空集{ }为其元素之一,且对于任何x中的元素y,y ∪ {y}也是x的元素。
- 替代公理:(Axiom schema of replacement)
- 幂集公理:(Axiom of power set)每一个集合也有其幂集。那就是,对于任何的x,存在著一个集合y,使y的元素是而且只会是x的子集。
- 正规公理:(Axiom of regularity / Axiom of foundation)每一个非空集合x,总包含著一元素y,使x与y为不交集。
- 选择公理:(Axiom of choice,Zermelo's version)给出一个集合x,其元素皆为互不相交的非空集,那总存在著一个集合y(x的一个选择集合),包含x每一个元素的仅仅一个元素。
命题在ZFC中的独立性
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引用
[编辑]- Keith Devlin, 1992. The Joy of Sets, 2nd ed. Springer-Verlag.
- Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4.
- Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4.
- Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.
参见
[编辑]- 可替代的集合论
- ℶ 数
- 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
- 对角论证法
- 康托尔定理
- Implementation of mathematics in set theory
- Internal set theory
- Kripke-Platek set theory with urelements
- List of set theory topics
- 模型论
- Morse-Kelley set theory
- 朴素集合论
- 新基础集合论
- Simple theorems in the algebra of sets
- 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论
- Zermelo-Fraenkel 集合论
- 佐恩引理
- 公理化数学
- ZFC系统无法确定的命题列表
外部链接
[编辑]- Metamath (页面存档备份,存于互联网档案馆): A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic. Principia Mathematica done right.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy:
- Set Theory(页面存档备份,存于互联网档案馆) -- by Thomas Jech.
- Quine's New Foundations (页面存档备份,存于互联网档案馆) -- by Thomas Forster.
- Alternative axiomatic set theories[失效链接] -- by Randall Holmes.
- Randall Holmes's bibliography (页面存档备份,存于互联网档案馆) for set theories allowing a universal set.
- Mathias, A. R. D., 2004, "The Strength of Mac Lane Set Theory." Surveys, and sets out new results and new proofs for old results, for a number of alternatives to ZFC, including ZBQC (proposed by Saunders Mac Lane), topos theory, Kripke-Platek set theory, Foster-Kaye set theory, Harvey Friedman, and systems similar to 新基础集合论.
- Axioms of Set Theory at ProvenMath (页面存档备份,存于互联网档案馆)
For information on the history of set theory notation, see: