星形正多面体
外观
星形正多面体(克卜勒-庞索特多面体)是一类非凸多面体,共有四个。它们的表面均为正多边形或星形正多边形,且每个顶点都有相同数目的边连接。
透视图 | 立体图 | 名称 | 施氏符号 | 点 | 边 | 面 | X | 对偶多面体 | 外接立体 | 内接立体 | 点群 |
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小星形十二面体 | {5/2,5} | 12 | 30 | 五角星×12 | -6 | 大十二面体 | 正十二面体 | 正二十面体 | 群 | ||
大十二面体 | {5,5/2} | 12 | 30 | 正五边形×12 | -6 | 小星形十二面体 | 正二十面体 | 正十二面体 | 群 | ||
大星形十二面体 | {5/2,3} | 20 | 30 | 五角星×12 | 2 | 大二十面体 | 正十二面体 | 正十二面体 | 群 | ||
大二十面体 | {3,5/2} | 12 | 30 | 等边三角形×20 | 2 | 大星形十二面体 | 正二十面体 | 正二十面体 | 群 |
性质
[编辑]皮特里多边形是指两个连续边都属于多面体的一个面,但三边不属多面体的面的不共面多边形。哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特证明了若正多面体的皮特里多边形有边,则有
- 。
除了均为正整数时,有5组解,对应5个正多面体。当为正有理数时,有多4组解,分别对应4个克卜勒-庞索特多面体。
历史
[编辑]- 14世纪Paolo Uccello的画作出现了小星形十二面体。
- 15世纪Wenzel Jamnitzer发现小星形十二面体和大星形十二面体。
- 1619年开普勒重新发现了小星形十二面体和大星形十二面体,并将它们和正多面体连系起来。
- 1809年路易斯·庞索发现了大十二面体和大二十面体。因此这些多面体以开普勒和庞索命名。
- 1859年阿瑟·凯莱敲定了这些形状的名字。[1]
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ Cayley, Arthur. On Poinsot's Four New Regular Solids [论庞索的四种新正立体]. Phil. Mag. 1859, 17: 123–127 and 209.
- J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), pp. 79–82, 117.
- Augustin-Louis Cauchy, Recherches sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
- Arthur Cayley, On Poinsot's Four New Regular Solids. Phil. Mag. 17, pp. 123–127 and 209, 1859.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetry of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 24, Regular Star-polytopes, pp. 404–408)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- (Paper 1) H.S.M. Coxeter, The Nine Regular Solids [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
- (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- P. Cromwell, Polyhedra, Cabridgre University Press, Hbk. 1997, Ppk. 1999.
- Theoni Pappas, (The Kepler–Poinsot Solids) The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 113, 1989.
- Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.
- Lakatos, Imre; Proofs and Refutations, Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
- Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-54325-8., pp. 39–41.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 3)
- Anthony Pugh. Polyhedra: A Visual Approach. California: University of California Press Berkeley. 1976. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 8: Kepler Poisot polyhedra