基靈向量場 ，基靈向量 或基靈向量場 （Killing vector 或 Killing vector field ），以德國 數學家威爾海姆·基靈 命名，是定義在黎曼流形 或偽黎曼流形 上的一組向量場 ，流形 的度規 在這組向量的方向上能夠保持不變。基靈向量是等距同構 的無窮小生成元，即由基靈向量場生成的流 包含有一種對稱性 ，也就是說流形在基靈向量場的方向上進行平移不會改變其上點與點之間的距離。一個簡單的例子是一個圓周上具有相同長度並且指向順時針方向的向量場即是一個基靈向量場，因為將圓周上的點沿這些方向平移等同於順時針轉動這個圓周而不改變彼此間的距離。
如果度量（度規）的係數
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
d
x
a
{\displaystyle dx^{a}\,}
x
K
{\displaystyle x^{K}}
x
μ
=
δ
K
μ
{\displaystyle x^{\mu }=\delta _{K}^{\mu }\,}
δ
K
μ
{\displaystyle \delta _{K}^{\mu }\,}
克羅內克函數 。例如，如果度量係數都不是時間的函數，流形一定自動有一個類時基靈向量。
基靈向量在廣義相對論 中描述了時空幾何的對稱性，每一種對稱性都與一個基靈向量相關聯。
具體地，向量場X 是一個基靈場，如果度量關於 X 李導數 為零：
L
X
g
=
0
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0\,.}
用列維-奇維塔聯絡 表示，即
g
(
∇
Y
X
,
Z
)
+
g
(
Y
,
∇
Z
X
)
=
0
{\displaystyle g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0\,}
對所有的向量Y 與Z 。在局部坐標系 中，這便是基靈方程式：
∇
μ
X
ν
+
∇
ν
X
μ
=
0
.
{\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}
該條件表示成共變形式，從而只要在一個特定的坐標系中成立就在所有坐標系下成立。
一個基靈場由其在一點的向量和其梯度（即這個場在該點的所有共變導數 ）決定。
兩個基靈場的李括號 仍然是一個基靈場。從而流形M 上的基靈場組成了M 上一個李代數 。如果M 緊或者完備 這便是流形的等距同構群 的李代數。
對緊 流形：
負里奇曲率 意味着不存在非平凡 基靈場。
非正里奇曲率，意味着任何基靈場都是平行的，即沿着任何向量場的共變導數恆為零。
如果截面曲率 為正且M 維數為偶，一個基靈場一定有零點。 基靈向量場可以推廣到共形基靈向量場，定義為：
L
X
g
=
λ
g
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,}
對某個純量
λ
{\displaystyle \lambda \,}
共形映射 族的導數是共形基靈場。另一種推廣是共形基靈張量場，是一個對稱張量 場T ，使得
∇
T
{\displaystyle \nabla T\,}
在廣義相對論中，基靈向量與時空的對稱性緊密聯繫。簡單說來，當一個時空流形在特定變換下具有幾何不變性時，我們稱這種時空流形具有對稱性 ；也就是說度規在這種變換下是保持形式不變的。一個張量場 可能會具有多種不同的對稱性，例如閔考斯基時空 的平直度規在平移變換（包含四種基本對稱操作）及勞侖茲變換 （包含六種基本對稱操作）下保持不變，即對於閔考斯基度規
d
s
2
=
η
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
{\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\,}
所具有的兩種對稱性表示為
x
ν
→
x
ν
+
a
ν
{\displaystyle x^{\nu }\to x^{\nu }+a^{\nu }\,}
平移對稱性 ）
x
ν
→
Λ
μ
ν
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }\to \Lambda _{\mu }^{\nu }x^{\nu }\,}
勞侖茲對稱性 ）從閔考斯基時空的平移對稱性表示中我們可以看到，度規的係數
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,}
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }\,}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
ν
{\displaystyle \nu \,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
⇒
x
σ
→
x
σ
+
a
σ
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\qquad \Rightarrow \qquad x^{\sigma }\to x^{\sigma }+a^{\sigma }\,}
對類時 的測地線 而言，測地線方程式 可以寫成動量 的形式，即對於粒子的四維動量
p
μ
=
m
U
μ
{\displaystyle p^{\mu }=mU^{\mu }\,}
p
λ
∇
λ
p
μ
=
0
{\displaystyle p^{\lambda }\nabla _{\lambda }p^{\mu }=0}
其中
p
λ
{\displaystyle p^{\lambda }\,}
協變導數 的定義方程式等價於
p
λ
∂
λ
p
μ
−
Γ
λ
μ
σ
p
λ
p
σ
=
0
{\displaystyle p^{\lambda }\partial _{\lambda }p_{\mu }-\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }p^{\lambda }p_{\sigma }=0\,}
左邊第一項的含義是動量如何沿測地線變化：
p
λ
∂
λ
p
μ
=
m
d
x
λ
d
τ
∂
λ
p
μ
=
m
d
p
μ
d
τ
{\displaystyle p^{\lambda }\partial _{\lambda }p_{\mu }=m{\frac {dx^{\lambda }}{d\tau }}\partial _{\lambda }p_{\mu }=m{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}\,}
而第二項可以化為如下形式：
Γ
λ
μ
σ
p
λ
p
σ
=
1
2
g
σ
ν
(
∂
λ
g
μ
ν
+
∂
μ
g
ν
λ
−
∂
ν
g
λ
μ
)
p
λ
p
σ
=
1
2
(
∂
λ
g
μ
ν
+
∂
μ
g
ν
λ
−
∂
ν
g
λ
μ
)
p
λ
p
ν
=
1
2
(
∂
μ
g
ν
λ
)
p
λ
p
ν
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }p^{\lambda }p_{\sigma }&={\frac {1}{2}}g^{\sigma \nu }\left(\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }-\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }\right)p^{\lambda }p_{\sigma }\\&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }-\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\\&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\end{aligned}}}
其中第二步到第三步是用了
p
λ
p
ν
{\displaystyle p^{\lambda }p^{\nu }\,}
m
d
p
μ
d
τ
=
1
2
(
∂
μ
g
ν
λ
)
p
λ
p
ν
{\displaystyle m{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\,}
從這個方程式我們可知，對於度規
g
ν
λ
{\displaystyle g_{\nu \lambda }\,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
⇒
d
p
σ
d
τ
=
0
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {dp_{\sigma }}{d\tau }}=0\,}
這個守恆律雖然是從類時的測地線得到的，它對所有的測地線都成立。
我們在上節中看到，當度規與坐標的某一個分量無關時，度規在這個分量上則具有平移對稱性。現在從這個事實出發將其寫成協變的形式，即當一個一般的度規
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
{\displaystyle \partial _{\sigma }\,}
K
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
推導中一般寫成分量的形式：
K
μ
=
(
∂
σ
)
μ
=
δ
σ
μ
{\displaystyle {K}^{\mu }=\left(\partial _{\sigma }\right)^{\mu }=\delta _{\sigma }^{\mu }\,}
這裏我們稱
K
μ
{\displaystyle {K}^{\mu }}
p
σ
=
K
ν
p
ν
{\displaystyle p_{\sigma }={K}^{\nu }p_{\nu }\,}
從前文的推導我們已知，若
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
方向導數 為零，用生成向量的形式寫出來則得到
d
p
σ
d
τ
=
0
⇔
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
0
{\displaystyle {\frac {dp_{\sigma }}{d\tau }}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)=0\,}
將右面的式子作展開得到
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
p
μ
∇
μ
K
ν
p
ν
+
p
μ
p
ν
∇
μ
K
ν
=
p
μ
p
ν
∇
μ
K
ν
=
p
μ
p
ν
∇
(
μ
K
ν
)
{\displaystyle {\begin{aligned}p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)&=p^{\mu }\nabla _{\mu }{K}_{\nu }p^{\nu }+p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{\mu }K_{\nu }\\&=p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{\mu }K_{\nu }\\&=p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{(\mu }K_{\nu )}\end{aligned}}}
從第一步到第二步中第一項消去的原因是測地線方程式，而第二步到第三步是由於
μ
{\displaystyle \mu \,}
ν
{\displaystyle \nu \,}
由此可得到結論：對於任何滿足方程式
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\,}
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
K
ν
p
ν
{\displaystyle K_{\nu }p^{\nu }\,}
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
⇒
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\qquad \Rightarrow \qquad p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)=0\,}
左面的方程式
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\,}
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
從基靈向量的概念可進一步推廣到基靈張量，即滿足方程式
∇
(
μ
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l})}=0\,}
的
l
{\displaystyle l\,}
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
{\displaystyle K_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\,}
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
p
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
{\displaystyle {K}_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}p^{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\,}
p
μ
∇
μ
(
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
p
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
)
=
0
{\displaystyle p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}p^{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\right)=0\,}
度規本身就是一個基靈張量，在膨脹宇宙模型 中，傅里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃克度規 也具有類時的基靈張量。
基靈向量的協變導數 與黎曼張量 直接聯繫，彼此關係為
∇
μ
∇
σ
K
ρ
=
R
σ
μ
ν
ρ
K
ν
{\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }K^{\rho }=R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }K^{\nu }\,}
與里奇張量 的關係為
∇
μ
∇
σ
K
μ
=
R
σ
ν
K
ν
{\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }K^{\mu }=R_{\sigma \nu }K^{\nu }\,}
從這兩個關係、比安基恆等式 以及基靈方程式可推出里奇純量 在沿基靈向量場的方向導數為零，這是其度規在這些方向上具有幾何不變性的體現：
K
λ
∇
λ
R
=
0
{\displaystyle K^{\lambda }\nabla _{\lambda }R=0\,}
動量守恆是空間平移不變性的體現，而能量守恆則是時間平移不變性的體現。藉助於一個類時的基靈向量我們能夠定義一個全部時空的守恆能量：從基靈向量
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }\,}
J
μ
=
K
ν
T
μ
ν
{\displaystyle J^{\mu }=K_{\nu }T^{\mu \nu }\,}
這個流是一個守恆量：
∇
μ
J
μ
=
(
∇
μ
K
ν
)
T
μ
ν
+
K
ν
(
∇
μ
T
μ
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{\mu }J^{\mu }=\left(\nabla _{\mu }K_{\nu }\right)T^{\mu \nu }+K_{\nu }\left(\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }\right)=0\,}
第一項為零是由於基靈方程式，而第二項為零是由於
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }\,}
當
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
類空 的超平面
Σ
{\displaystyle \Sigma \,}
E
=
∫
Σ
J
μ
n
μ
γ
d
3
x
{\displaystyle E=\int _{\Sigma }J^{\mu }n_{\mu }{\sqrt {\gamma }}\,d^{3}x\,}
其中
γ
i
j
{\displaystyle \gamma _{ij}\,}
Σ
{\displaystyle \Sigma \,}
誘導度規 ，而
n
μ
{\displaystyle n_{\mu }\,}
柯瑪質量 的定義，在膨脹宇宙模型中時空中的總能量一般並不是守恆的，這與膨脹宇宙的度規是時間的函數有關。如果存在一個類時的基靈向量，則度規與時間無關，從而存在一個守恆的能量定義。
Sean M. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Hardcover). Benjamin Cummings. 2003. ISBN 978-0805387322（英语） . Jost, Jurgen. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. 2002. ISBN 3-540-42627-2 （英语） . Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem. Introduction to General Relativity (Second Edition). New York: McGraw-Hill. 1975. ISBN 0-07-000423-4 （英语） . Misner, Thorne, Wheeler. Gravitation. W H Freeman and Company. 1973. ISBN 0-7167-0344-0 （英语） . 
