基灵矢量场 ，基灵矢量 或基灵矢量场 （Killing vector 或 Killing vector field ），以德国 数学家威尔海姆·基灵 命名，是定义在黎曼流形 或伪黎曼流形 上的一组矢量场 ，流形 的度规 在这组矢量的方向上能够保持不变。基灵矢量是等距同构 的无穷小生成元，即由基灵矢量场生成的流 包含有一种对称性 ，也就是说流形在基灵矢量场的方向上进行平移不会改变其上点与点之间的距离。一个简单的例子是一个圆周上具有相同长度并且指向顺时针方向的矢量场即是一个基灵矢量场，因为将圆周上的点沿这些方向平移等同于顺时针转动这个圆周而不改变彼此间的距离。
如果度量（度规）的系数
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
d
x
a
{\displaystyle dx^{a}\,}
x
K
{\displaystyle x^{K}}
x
μ
=
δ
K
μ
{\displaystyle x^{\mu }=\delta _{K}^{\mu }\,}
δ
K
μ
{\displaystyle \delta _{K}^{\mu }\,}
克罗内克函数 。例如，如果度量系数都不是时间的函数，流形一定自动有一个类时基灵向量。
基灵矢量在广义相对论 中描述了时空几何的对称性，每一种对称性都与一个基灵矢量相关联。
具体地，向量场X 是一个基灵场，如果度量关于 X 李导数 为零：
L
X
g
=
0
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0\,.}
用列维-奇维塔联络 表示，即
g
(
∇
Y
X
,
Z
)
+
g
(
Y
,
∇
Z
X
)
=
0
{\displaystyle g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0\,}
对所有的向量Y 与Z 。在局部坐标系 中，这便是基灵方程：
∇
μ
X
ν
+
∇
ν
X
μ
=
0
.
{\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}
该条件表示成共变形式，从而只要在一个特定的坐标系中成立就在所有坐标系下成立。
一个基灵场由其在一点的向量和其梯度（即这个场在该点的所有共变导数 ）决定。
两个基灵场的李括号 仍然是一个基灵场。从而流形M 上的基灵场组成了M 上一个李代数 。如果M 紧或者完备 这便是流形的等距同构群 的李代数。
对紧 流形：
负里奇曲率 意味着不存在非平凡 基灵场。
非正里奇曲率，意味着任何基灵场都是平行的，即沿着任何向量场的共变导数恒为零。
如果截面曲率 为正且M 维数为偶，一个基灵场一定有零点。 基灵向量场可以推广到共形基灵向量场，定义为：
L
X
g
=
λ
g
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,}
对某个纯量
λ
{\displaystyle \lambda \,}
共形映射 族的导数是共形基灵场。另一种推广是共形基灵张量场，是一个对称张量 场T ，使得
∇
T
{\displaystyle \nabla T\,}
在广义相对论中，基灵矢量与时空的对称性紧密联系。简单说来，当一个时空流形在特定变换下具有几何不变性时，我们称这种时空流形具有对称性 ；也就是说度规在这种变换下是保持形式不变的。一个张量场 可能会具有多种不同的对称性，例如闵可夫斯基时空 的平直度规在平移变换（包含四种基本对称操作）及洛伦兹变换 （包含六种基本对称操作）下保持不变，即对于闵可夫斯基度规
d
s
2
=
η
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
{\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\,}
所具有的两种对称性表示为
x
ν
→
x
ν
+
a
ν
{\displaystyle x^{\nu }\to x^{\nu }+a^{\nu }\,}
平移对称性 ）
x
ν
→
Λ
μ
ν
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }\to \Lambda _{\mu }^{\nu }x^{\nu }\,}
洛伦兹对称性 ）从闵可夫斯基时空的平移对称性表示中我们可以看到，度规的系数
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,}
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }\,}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
ν
{\displaystyle \nu \,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
⇒
x
σ
→
x
σ
+
a
σ
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\qquad \Rightarrow \qquad x^{\sigma }\to x^{\sigma }+a^{\sigma }\,}
对类时 的测地线 而言，测地线方程 可以写成动量 的形式，即对于粒子的四维动量
p
μ
=
m
U
μ
{\displaystyle p^{\mu }=mU^{\mu }\,}
p
λ
∇
λ
p
μ
=
0
{\displaystyle p^{\lambda }\nabla _{\lambda }p^{\mu }=0}
其中
p
λ
{\displaystyle p^{\lambda }\,}
协变导数 的定义方程等价于
p
λ
∂
λ
p
μ
−
Γ
λ
μ
σ
p
λ
p
σ
=
0
{\displaystyle p^{\lambda }\partial _{\lambda }p_{\mu }-\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }p^{\lambda }p_{\sigma }=0\,}
左边第一项的含义是动量如何沿测地线变化：
p
λ
∂
λ
p
μ
=
m
d
x
λ
d
τ
∂
λ
p
μ
=
m
d
p
μ
d
τ
{\displaystyle p^{\lambda }\partial _{\lambda }p_{\mu }=m{\frac {dx^{\lambda }}{d\tau }}\partial _{\lambda }p_{\mu }=m{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}\,}
而第二项可以化为如下形式：
Γ
λ
μ
σ
p
λ
p
σ
=
1
2
g
σ
ν
(
∂
λ
g
μ
ν
+
∂
μ
g
ν
λ
−
∂
ν
g
λ
μ
)
p
λ
p
σ
=
1
2
(
∂
λ
g
μ
ν
+
∂
μ
g
ν
λ
−
∂
ν
g
λ
μ
)
p
λ
p
ν
=
1
2
(
∂
μ
g
ν
λ
)
p
λ
p
ν
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }p^{\lambda }p_{\sigma }&={\frac {1}{2}}g^{\sigma \nu }\left(\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }-\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }\right)p^{\lambda }p_{\sigma }\\&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }-\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\\&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\end{aligned}}}
其中第二步到第三步是用了
p
λ
p
ν
{\displaystyle p^{\lambda }p^{\nu }\,}
m
d
p
μ
d
τ
=
1
2
(
∂
μ
g
ν
λ
)
p
λ
p
ν
{\displaystyle m{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\,}
从这个方程我们可知，对于度规
g
ν
λ
{\displaystyle g_{\nu \lambda }\,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
⇒
d
p
σ
d
τ
=
0
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {dp_{\sigma }}{d\tau }}=0\,}
这个守恒律虽然是从类时的测地线得到的，它对所有的测地线都成立。
我们在上节中看到，当度规与坐标的某一个分量无关时，度规在这个分量上则具有平移对称性。现在从这个事实出发将其写成协变的形式，即当一个一般的度规
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
{\displaystyle \partial _{\sigma }\,}
K
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
推导中一般写成分量的形式：
K
μ
=
(
∂
σ
)
μ
=
δ
σ
μ
{\displaystyle {K}^{\mu }=\left(\partial _{\sigma }\right)^{\mu }=\delta _{\sigma }^{\mu }\,}
这里我们称
K
μ
{\displaystyle {K}^{\mu }}
p
σ
=
K
ν
p
ν
{\displaystyle p_{\sigma }={K}^{\nu }p_{\nu }\,}
从前文的推导我们已知，若
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
方向导数 为零，用生成矢量的形式写出来则得到
d
p
σ
d
τ
=
0
⇔
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
0
{\displaystyle {\frac {dp_{\sigma }}{d\tau }}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)=0\,}
将右面的式子作展开得到
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
p
μ
∇
μ
K
ν
p
ν
+
p
μ
p
ν
∇
μ
K
ν
=
p
μ
p
ν
∇
μ
K
ν
=
p
μ
p
ν
∇
(
μ
K
ν
)
{\displaystyle {\begin{aligned}p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)&=p^{\mu }\nabla _{\mu }{K}_{\nu }p^{\nu }+p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{\mu }K_{\nu }\\&=p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{\mu }K_{\nu }\\&=p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{(\mu }K_{\nu )}\end{aligned}}}
从第一步到第二步中第一项消去的原因是测地线方程，而第二步到第三步是由于
μ
{\displaystyle \mu \,}
ν
{\displaystyle \nu \,}
由此可得到结论：对于任何满足方程
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\,}
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
K
ν
p
ν
{\displaystyle K_{\nu }p^{\nu }\,}
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
⇒
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\qquad \Rightarrow \qquad p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)=0\,}
左面的方程
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\,}
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
从基灵矢量的概念可进一步推广到基灵张量，即满足方程
∇
(
μ
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l})}=0\,}
的
l
{\displaystyle l\,}
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
{\displaystyle K_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\,}
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
p
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
{\displaystyle {K}_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}p^{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\,}
p
μ
∇
μ
(
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
p
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
)
=
0
{\displaystyle p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}p^{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\right)=0\,}
度规本身就是一个基灵张量，在膨胀宇宙模型 中，弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规 也具有类时的基灵张量。
基灵矢量的协变导数 与黎曼张量 直接联系，彼此关系为
∇
μ
∇
σ
K
ρ
=
R
σ
μ
ν
ρ
K
ν
{\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }K^{\rho }=R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }K^{\nu }\,}
与里奇张量 的关系为
∇
μ
∇
σ
K
μ
=
R
σ
ν
K
ν
{\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }K^{\mu }=R_{\sigma \nu }K^{\nu }\,}
从这两个关系、比安基恒等式 以及基灵方程可推出里奇标量 在沿基灵矢量场的方向导数为零，这是其度规在这些方向上具有几何不变性的体现：
K
λ
∇
λ
R
=
0
{\displaystyle K^{\lambda }\nabla _{\lambda }R=0\,}
动量守恒是空间平移不变性的体现，而能量守恒则是时间平移不变性的体现。借助于一个类时的基灵矢量我们能够定义一个全部时空的守恒能量：从基灵矢量
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }\,}
J
μ
=
K
ν
T
μ
ν
{\displaystyle J^{\mu }=K_{\nu }T^{\mu \nu }\,}
这个流是一个守恒量：
∇
μ
J
μ
=
(
∇
μ
K
ν
)
T
μ
ν
+
K
ν
(
∇
μ
T
μ
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{\mu }J^{\mu }=\left(\nabla _{\mu }K_{\nu }\right)T^{\mu \nu }+K_{\nu }\left(\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }\right)=0\,}
第一项为零是由于基灵方程，而第二项为零是由于
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }\,}
当
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
类空 的超平面
Σ
{\displaystyle \Sigma \,}
E
=
∫
Σ
J
μ
n
μ
γ
d
3
x
{\displaystyle E=\int _{\Sigma }J^{\mu }n_{\mu }{\sqrt {\gamma }}\,d^{3}x\,}
其中
γ
i
j
{\displaystyle \gamma _{ij}\,}
Σ
{\displaystyle \Sigma \,}
诱导度规 ，而
n
μ
{\displaystyle n_{\mu }\,}
柯玛质量 的定义，在膨胀宇宙模型中时空中的总能量一般并不是守恒的，这与膨胀宇宙的度规是时间的函数有关。如果存在一个类时的基灵矢量，则度规与时间无关，从而存在一个守恒的能量定义。
Sean M. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Hardcover). Benjamin Cummings. 2003. ISBN 978-0805387322（英语） . Jost, Jurgen. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. 2002. ISBN 3-540-42627-2 （英语） . Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem. Introduction to General Relativity (Second Edition). New York: McGraw-Hill. 1975. ISBN 0-07-000423-4 （英语） . Misner, Thorne, Wheeler. Gravitation. W H Freeman and Company. 1973. ISBN 0-7167-0344-0 （英语） . 
