超越数

提示：此条目的主题不是超限数。

在数论中，超越数（英语：transcendental number）是指任何一个不是代数数的无理数。只要它不是任何一个有理系数代数方程的根，它即是超越数。最著名的例子是自然对数底e以及圆周率π。

几乎所有的实数和复数都是超越数，这是因为代数数的集合是可数集，而实数和复数的集合是不可数集之故。

定义

超越数是代数数的相反，也即是说若$x$是一个超越数，那么对于任何整数$a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}$都符合：

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\neq 0$

（其中$a_{n}\neq 0$）

例子

超越数的例子包括：

• 钱珀瑙恩数
• 刘维尔数：$\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots$
  它是第一个确认为超越数的数，是于1844年刘维尔发现的。
• 自然对数底${\boldsymbol {e}}$（参见：e）。
• ${\boldsymbol {e}}^{a}$ ，其中$a$是除0以外的代数数。
• ${\boldsymbol {\pi }}$（参见：圆周率）
  林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因$\pi \,$是超越数而证明尺规作图中的“化圆为方”的不可实现性。
• ${\boldsymbol {e^{\pi }}}$（参见：e的π次方）
• $2^{\sqrt {2}}$（参见：2的√2次方）。
  更一般地，若$a\,$为零和一以外的任何代数数及$b\,$为无理代数数则$a^{b}\,$必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理。
• $\sin 1\,$（参见：正弦）
• $\ln a\,$（参见：自然对数），其中$a\,$为一不等于1的正有理数。
• $\mathbf {W} (a)\,$（参见：朗伯W函数），其中$a\,$为一正有理数。
• $\Gamma ({\frac {1}{3}})\,$ $\left(\approx 2.67894\right)\,$，$\Gamma ({\frac {1}{4}})\,$ $\left(\approx 3.62561\right)\,$及$\Gamma ({\frac {1}{6}})\,$ $\left(\approx 5.56632\right)\,$（参见伽玛函数）。

所有超越数构成的集是一个不可数集，也就是说，几乎所有的实数和复数都是超越数；尽管如此，现今发现的超越数极少，甚至连$\pi +e\,$是不是超越数也不知道，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的证明，给数学带来了大的变革，解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现，这三大问题被证明为不可能。

可能的超越数

以下数仍待证明为超越数或代数数：

• 数 e 和$\pi$的大多数和、积、幂等等，例如$\pi +e$, $\pi -e$, $\pi e$, ${\frac {\pi }{e}}$, $\pi ^{\pi }$, $e^{e}$, $\pi ^{e}$, $\pi ^{\sqrt {2}}$, $\pi ^{\pi ^{2}}$尚未得知是有理数、代数无理数或超越数。值得注意的例外是$\pi +e^{\pi }$, $\pi e^{\pi }$和 $e^{\pi {\sqrt {n}}}$（对于所有正整数 $n$）已被证明是超越数
• 欧拉-马歇罗尼常数$\gamma$，尚未被证明是无理数
• 卡塔兰常数，未被证明是无理数
• 阿培里常数$\zeta (3)$ ，是无理数
• 黎曼ζ函数在其他奇整数的取值，$\zeta (5),\zeta (7),\ldots$（尚未被证明是无理数）
• 费根鲍姆常数，$\delta$与$\alpha$，皆未证明是否为无理数
• 米尔斯常数，未证明是否为无理数
• 辛钦常数，未证明是否为无理数
• 科普兰-埃尔德什常数，是无理数

猜想：

• Schanuel猜想
• 四指数猜想

简要地证明$e$是超越数

第一个对自然对数底 e是超越数的证明可以追溯到1873年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：

为寻找矛盾，假设$e$是代数数。那就存在一个有限的整系数集$c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}$满足下列等式：

$c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.$

现在对于一个正整数$k$，我们定义如下的多项式：

$f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},$

并在上述等式的两端乘上

$\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,$

于是我们得到等式：

$c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.$

该等式可以写成这种形式

$P+Q=0$

其中

$P=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)$

$Q=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)$

引理 1. 对于恰当选择的$k$， ${\frac {P}{k!}}$ 是非零整数。

证明： P 的每一项都是整数乘以阶乘的和，这可以从以下的关系式得出

$\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!$

对于任何正整数 j 成立（考虑Γ函数）。

它是非零的，因为对于每一个满足 0< a ≤ n 的 a ，

$c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx$

中的被积函数均为 e^−x 乘以一些项的和，在积分中用 x - a 替换 x 后， x 的最低幂次是 k+1 。然后这就变成了具有以下形式的积分的和

$\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx$

其中 k+1 ≤ j ，而且它是一个能被 (k+1)! 整除的整数。在除以 k! 后，我们得到模 (k+1) 得 0 的数。

现在我们只须考虑a=0的项。我们有：

$\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx$

于是

${\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\qquad \mod (k+1).$

通过选择 k ，使得 k+1 是大于 n 与 |c₀| 的素数，我们可以得出 ${\tfrac {P}{k!}}$ 模 (k+1) 为非零，从而该数为非零整数。

引理 2. 对于充分大的 k ， $\left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1$ 。

证明： 注意到

$f_{k}e^{-x}=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)$

使用 $|x(x-1)\cdots (x-n)|$ 和 $|(x-1)\cdots (x-n)e^{-x}|$ 在区间 [0,n] 的上限 G 和 H ，我们可以推出

$|Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots +n|c_{n}|e^{n})$

由于

$\lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0$

我们有

$\lim _{k\to \infty }{\frac {Q}{k!}}=0$

这点足以完成对引理的证明。

注意可以选择满足两个引理的$k$，从而我们能得出矛盾。进而得以证明$e$的超越性。

马勒的分类

库尔特·马勒在1932年把超越数分为3类，分别叫做S数、T数和U数。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。

实数的无理性度量

一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数$x$，可以使得一次多项式$\vert qx-p\vert$尽可能小但不精确地等于 0 。这里的$p$ , $q$是满足$\vert p\vert$, $\vert q\vert$以正整数$H$为界的整数。

令$m(x,1,H)$为这些多项式所取的最小非零绝对值，并且令：

$\omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}$

$\omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,1,H).$

$\omega (x,1)$常称为实数$x$的无理性度量（measure of irrationality）。对于有理数$\omega (x,1)=0$，而且对无理数其值至少为1 。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。Thue–Siegel–Roth定理表明了实代数无理数的无理性度量均为 1 。

复数的超越性度量

接下来考虑多项式对于复数$x$的取值，这些多项式系数为整数，次数至多为$n$，而且高至多为$H$，此处的$n$, $H$是正整数。

令$m(x,n,H)$为以$x$为变量的上述多项式所取的最小非零值，并且令：

$\omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}$

$\omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,n,H).$

假如对于尽可能小的正整数$n$，$\omega (x,n)$为无穷大，则这种情况下复数$x$称为$n$次的U数。

现在我们可以定义

$\omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\omega (x,n).$

$\omega (x)$常称为$x$的超越性度量（measure of transcendence）。假如$\omega (x,n)$有界，则$\omega (x)$有限，$x$称为S数。如果$\omega (x,n)$有限而无界，则$x$称为T数。$x$为代数数当且仅当$\omega (x)=0$。

显然刘维尔数是U数的子集。威廉·勒维克在1953年构造了任意次数的U数。刘维尔数是不可数集，从而U数也是。它们的测度为 0 。

T数组成的集合测度亦为 0 。人们花了 35 年时间证明它们存在。沃尔夫冈·M·施密特在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数。马勒证明了当$x$为任意非零代数数时$e^{x}$均为S数：这点揭示了$e$是S数且给出了$\pi$的超越性证明。对于$\pi$我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。

两个数$x$, $y$称为代数相关，当存在 2 个变量的整系数非零多项式$P$满足$P(x,y)=0$。一个有力的定理指出，属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的。这允许我们构造新形式的超越数，例如刘维尔数与$e$或$\pi$的和。

通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下来的两个字母。

Koksma 的等价分类

Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基于代数数逼近的另一种分类。

考虑用次数$\leq n$且高$\leq H$的代数数逼近复数$x$。令$\alpha$为该有限集中满足$\vert x-\alpha \vert$取最小正值得代数数。定义$\omega ^{*}(x,H,n)$和$\omega ^{*}(x,n)$如下：

$|x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.$

$\omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega ^{*}(x,n,H).$

若对于最小的正整数$n$，$\omega ^{*}(x,n)$为无穷大，则称$x$为$n$次的U*数。

若$\omega ^{*}(x,n)$有界且不收敛到 0 ，则则称$x$为S*数，

一个数$x$被称为 A*数 ，当$\omega ^{*}(x,n)$收敛到 0 。

若所有的$\omega ^{*}(x,n)$均为有限但无界，则称 x 为T*数，

Koksma和马勒的分类是等价的，因为它们将超越数以同样的方式分类。A*数就是代数数。

勒维克的构造

令

$\lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}$

可以证明$\lambda$（刘维尔数）的$n$次方根是$n$次的U数。

此构造可以改进以建立$n$次U数的不可数个系列。令$Z$为上述$\lambda$的级数中 10 的幂次的集合。$Z$所有子集的集合是不可数的。在表示$\lambda$的级数中删去任意一个$Z$的子集，将产生不可数个显然的刘维尔数，它们每一个的$n$次方根都是次数为$n$的U数。

类型

数列$\{\omega (x,n)\}$的上界称为类型（type）。几乎所有实数都是类型为 1 的S数，此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数，此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出，于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明。

参见

• 多项式
• 无理数
• 代数数
• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理