對偶線性規劃

一個線性規劃問題（「原問題」）的對偶線性規劃問題（「對偶問題」）是另一個線性規劃問題，由原問題以一定方式派生而來：^[1]

原問題中的每個變量都變為對偶問題中的一個限制條件；
原問題中的每個限制條件都變為對偶問題中的一個變量；
原問題若是求目標函數的最大值，則對偶問題是求最小值，反之亦然。

對偶問題的構建方法

對於以下形式的兩個線性規劃問題：

問題甲	問題乙
最大化目標函數 $\max _{x}c^{T}x=\max _{x}\sum _{i}c_{i}x_{i}$	最小化目標函數 $\min _{y}b^{T}y=\min _{y}\sum _{i}b_{i}y_{i}$
n個變量 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $x_{i}\geq 0$ $x_{j}\leq 0$ $x_{k}\in \mathbb {R}$	n個限制條件 $A^{T}y\lesseqqgtr c$ 第i個限制條件為 $\geq c_{i}$ 第j個限制條件為 $\leq c_{j}$ 第k個限制條件為 $=c_{k}$
m個限制條件 $Ax\lesseqqgtr b$ 第i個限制條件為 $\geq b_{i}$ 第j個限制條件為 $\leq b_{j}$ 第k個限制條件為 $=b_{k}$	m個變量 $y_{1},\ldots ,y_{m}$ $y_{i}\leq 0$ $y_{j}\geq 0$ $y_{k}\in \mathbb {R}$

我們稱甲、乙互為對偶問題，即：甲為乙的對偶問題，乙為甲的對偶問題。由此定義可知，原問題是其對偶問題的對偶問題。

特別地，若所有限制條件的符號方向相同，我們有以下形式：

名稱	問題甲	問題乙
對稱對偶問題	Maximize c^Tx 滿足 Ax ≤ b, x ≥ 0	Minimize b^Ty 滿足 A^Ty ≥ c, y ≥ 0
非對稱對偶問題	Maximize c^Tx 滿足 Ax ≤ b	Minimize b^Ty 滿足 A^Ty = c, y ≥ 0
非對稱對偶問題	Maximize c^Tx 滿足 Ax = b, x ≥ 0	Minimize b^Ty 滿足 A^Ty ≥ c

例子

以下甲乙互為對偶問題。

問題甲	問題乙
${\begin{aligned}{\text{maximize }}&3x_{1}+4x_{2}\\{\text{s.t. }}&5x_{1}+6x_{2}=7\\&x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\text{minimize }}&7y_{1}\\{\text{s.t. }}&5y_{1}\geq 3\\&6y_{1}\geq 4\\&y_{1}\in \mathbb {R} \end{aligned}}$

對偶定理

對於互相對偶的最大化問題甲與最小化問題乙，我們有如下兩個定理。

弱對偶定理

若 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ 、 $y\in \mathbb {R} ^{m}$ 分別滿足問題甲、乙的限制條件，則： $c^{T}x\leq b^{T}y$ 。

強對偶定理

若 $x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}$ 、 $y^{*}\in \mathbb {R} ^{m}$ 分別滿足問題甲、乙的限制條件，則： $x^{*},y^{*}$ 分別為問題甲、乙的最優解（即 $x^{*}=\operatorname {argmax} _{x}c^{T}x$ ， $y^{*}=\operatorname {argmin} _{y}b^{T}y$ ），若且唯若 $c^{T}x^{*}=b^{T}y^{*}$ 。

換言之，若甲、乙均有解，則 $\max _{x}c^{T}x=\min _{y}b^{T}y$ 。

無限值解與無解問題

由對偶定理，不難得出以下結論：

若原問題有無限值解，則其對偶問題無解；
若對偶問題有無限值解，則其原問題無解。

但是，原問題和對偶問題可同時無解。

對偶問題的解讀

經濟學角度

甲公司有擁有一間核酸檢測實驗室，提供普通、VIP兩種核酸檢測服務，每人次普通、VIP檢測分別可獲利潤10元、20元。每人次普通、VIP檢測分別需要占用1單位、8/3單位人力，而該實驗室有每天4千單位人力。由於PCR擴增儀檢測能力限制，該實驗室每天最多檢測2千人次。另由於政府規管，該實驗室每天最多允許1.5千人次VIP檢測。因核酸檢測需求旺盛，不論該實驗室提供多少次核酸檢測服務均有人買單。問題甲：該實驗室每天應該分別提供多少次普通、VIP核酸檢測服務？

現乙公司欲租用該核酸檢測實驗室。問題乙：乙公司應該為每單位人力、每人次核酸檢測能力、每人次VIP檢測許可分別支付多少錢一天？

問題甲	問題乙
利潤最大化 $\max _{x}c^{T}x=\max _{x}10x_{1}+20x_{2}$	成交價格最小化 $\min _{y}b^{T}y=\min _{y}4y_{1}+2y_{2}+1.5y_{3}$
2個變量 $x_{1},x_{2}$ $x_{1}\geq 0$ （普通核酸服務次數） $x_{2}\geq 0$ （VIP核酸服務次數）	2個限制條件 $A^{T}y\geq c$ $y_{1}+y_{2}\geq 10$ （否則甲公司寧可自己做普通核酸服務） ${\frac {8}{3}}y_{1}+y_{2}+y_{3}\geq 20$ （否則甲公司寧可自己做VIP核酸服務）
3個限制條件 $Ax\leq b$ $x_{1}+{\frac {8}{3}}x_{2}\leq 4$ （人手限制） $x_{1}+x_{2}\leq 2$ （檢測能力限制） $x_{2}\leq 1.5$ （政府免許限制）	3個變量 $y_{1},y_{2},y_{3}$ $y_{1}\geq 0$ （單位人力價格） $y_{2}\geq 0$ （單位檢測能力價格） $y_{3}\geq 0$ （單位免許價格）